Questão 5: Nos itens a seguir, use o teorema da função implícita para obter as derivadas (parciais).
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Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre
(a derivada de
em relação a
) a partir da relação implícita
Informações relevantes dadas:
e a incógnita que queremos é
. Não há pontos numéricos fornecidos, então vamos obter uma expressão geral de
em termos de
e
.
Passo 2
Vamos reescrever a equação na forma
para aplicar o teorema da função implícita. Definimos
Aqui
é uma função de duas variáveis,
(que pensamos como variável independente) e
(que será vista como função implícita de
,
, se o teorema permitir).
Passo 3
O teorema da função implícita (na forma prática que usamos para derivar) diz que, se
é diferenciável e a derivada parcial
não é zero num ponto em questão, então localmente existe uma função
tal que
e sua derivada é dada por
Explicando devagar:
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo;
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo. Esses dois valores entram na fórmula acima.
Passo 4
Agora vamos calcular
. Lembre-se: ao derivar parcialmente em relação a
tratamos
como constante. Começamos por
. Aplicando a regra da cadeia:
Como
é tratado como constante nessa parcial,
. Logo
As outras parcelas de
dão
Somando tudo,
Passo 5
Agora calculamos
. Aqui
é tratado como constante. Para
temos, pela regra da cadeia:
Como
é constante nesta parcial,
. Assim
As outras parcelas:
Somando,
Passo 6
Aplicamos a fórmula do teorema da função implícita:
Substituindo as parciais que achamos,
Simplificando o sinal no numerador (multiplicando por
),
Podemos também escrever o denominador trocando a ordem dos termos:
Passo 7
Comentário final (motivação e condição): essa expressão vale sempre que
, ou seja sempre que
(ou equivalentemente
). Nesse caso o teorema garante que existe localmente uma função
e a fórmula acima dá sua derivada. Se em algum ponto essa parcial for zero, o teorema não garante a existência de
nem a validade da fórmula ali — precisaríamos analisar caso a caso.