Questão 5: Nos itens a seguir, use o teorema da função implícita para obter as derivadas (parciais).
\frac{d y}{d x}, \quad \cos (2 x+3 y)=x^{5}-8 y^{2};

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre \dfrac{d y}{d x} (a derivada de y em relação a x) a partir da relação implícita
\cos(2x+3y)=x^{5}-8y^{2}.
Informações relevantes dadas:
\cos(2x+3y)=x^{5}-8y^{2}
e a incógnita que queremos é \dfrac{d y}{d x}. Não há pontos numéricos fornecidos, então vamos obter uma expressão geral de \dfrac{d y}{d x} em termos de x e y.

Passo 2

Vamos reescrever a equação na forma
F(x,y)=0
para aplicar o teorema da função implícita. Definimos
F(x,y)=\cos(2x+3y)-x^{5}+8y^{2}.
Aqui F é uma função de duas variáveis, x (que pensamos como variável independente) e y (que será vista como função implícita de x, y=y(x), se o teorema permitir).

Passo 3

O teorema da função implícita (na forma prática que usamos para derivar) diz que, se F é diferenciável e a derivada parcial \dfrac{\partial F}{\partial y} não é zero num ponto em questão, então localmente existe uma função y(x) tal que F(x,y(x))=0 e sua derivada é dada por
\frac{d y}{d x} = -\frac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial y}}.
Explicando devagar: \dfrac{\partial F}{\partial x} é a derivada parcial de F em relação a x mantendo y fixo; \dfrac{\partial F}{\partial y} é a derivada parcial de F em relação a y mantendo x fixo. Esses dois valores entram na fórmula acima.

Passo 4

Agora vamos calcular \dfrac{\partial F}{\partial x}. Lembre-se: ao derivar parcialmente em relação a x tratamos y como constante. Começamos por \cos(2x+3y). Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\big(\cos(2x+3y)\big) = -\sin(2x+3y)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(2x+3y).
Como y é tratado como constante nessa parcial, \dfrac{\partial}{\partial x}(2x+3y)=2. Logo
\frac{\partial}{\partial x}\big(\cos(2x+3y)\big) = -2\sin(2x+3y).
As outras parcelas de F dão
\frac{\partial}{\partial x}(-x^{5}) = -5x^{4},\qquad \frac{\partial}{\partial x}(8y^{2})=0.
Somando tudo,
\frac{\partial F}{\partial x} = -2\sin(2x+3y)-5x^{4}.

Passo 5

Agora calculamos \dfrac{\partial F}{\partial y}. Aqui x é tratado como constante. Para \cos(2x+3y) temos, pela regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\big(\cos(2x+3y)\big) = -\sin(2x+3y)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(2x+3y).
Como x é constante nesta parcial, \dfrac{\partial}{\partial y}(2x+3y)=3. Assim
\frac{\partial}{\partial y}\big(\cos(2x+3y)\big) = -3\sin(2x+3y).
As outras parcelas:
\frac{\partial}{\partial y}(-x^{5})=0,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(8y^{2})=16y.
Somando,
\frac{\partial F}{\partial y} = -3\sin(2x+3y)+16y.

Passo 6

Aplicamos a fórmula do teorema da função implícita:
\frac{d y}{d x} = -\frac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial y}}.
Substituindo as parciais que achamos,
\frac{d y}{d x} = -\frac{-2\sin(2x+3y)-5x^{4}}{-3\sin(2x+3y)+16y}.
Simplificando o sinal no numerador (multiplicando por -1),
\frac{d y}{d x} = \frac{2\sin(2x+3y)+5x^{4}}{-3\sin(2x+3y)+16y}.
Podemos também escrever o denominador trocando a ordem dos termos:
\frac{d y}{d x} = \frac{2\sin(2x+3y)+5x^{4}}{16y-3\sin(2x+3y)}.

Passo 7

Comentário final (motivação e condição): essa expressão vale sempre que \dfrac{\partial F}{\partial y} \neq 0, ou seja sempre que
-3\sin(2x+3y)+16y \neq 0
(ou equivalentemente 16y-3\sin(2x+3y)\neq0). Nesse caso o teorema garante que existe localmente uma função y(x) e a fórmula acima dá sua derivada. Se em algum ponto essa parcial for zero, o teorema não garante a existência de y(x) nem a validade da fórmula ali — precisaríamos analisar caso a caso.

Resposta

\frac{d y}{d x}=\frac{2\sin(2x+3y)+5x^{4}}{16y-3\sin(2x+3y)}

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