Questão 1 Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}-y^{2}=-9 \\\ y(0)=3\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
y' - y^2 = -9
com condição inicial y(0)=3. O método a usar é separação de variáveis: devemos reescrever como
\frac{dy}{dx} = y^2 - 9
e isolar dy e dx para integrar.

Passo 2

Escrevendo y'=\frac{dy}{dx} e separando, temos
\frac{dy}{y^2 - 9} = dx.
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Note que
\frac{1}{y^2-9} = \frac{1}{6}\Bigl(\frac{1}{y-3} - \frac{1}{y+3}\Bigr).
Logo,
\int \frac{dy}{y^2-9} = \frac{1}{6}\int\Bigl(\frac{1}{y-3} - \frac{1}{y+3}\Bigr)dy = \frac{1}{6}\ln\Bigl|\frac{y-3}{y+3}\Bigr| + C.

Passo 3

Igualando ao lado direito e multiplicando por 6:
\ln\Bigl|\frac{y-3}{y+3}\Bigr| = 6x + C',
onde C'=6C. Exponenciando, obtemos
\frac{y-3}{y+3} = K\,e^{6x},
com K=e^{C'}.

Passo 4

Aplicando y(0)=3:
\frac{3-3}{3+3} = 0 = K\,e^{0} \quad\Longrightarrow\quad K=0.
Assim \tfrac{y-3}{y+3}=0 y-3=0 e portanto
y(x) = 3.
Verifique que y'=0 e 0 - 3^2 = -9, logo satisfaz a EDO.

Resposta

y(x)=3

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