Questão 1 Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.
\left\{\begin{array}{l}x y^{\prime}=y^{2}-y \\\ y\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por separação de variáveis a equação
\begin{cases} x\,y' = y^2 - y,\\\ y\bigl(\tfrac12\bigr)=\tfrac12, \end{cases}
ou seja, é uma ODE de primeira ordem, separável, com condição inicial em x=\tfrac12.

Passo 2

Reescrevemos a derivada de forma explícita e separamos:
y' = \frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - y}{x} = \frac{y(y-1)}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y(y-1)} = \frac{dx}{x}.

Passo 3

Fazemos frações parciais em \tfrac1{y(y-1)}. Procuramos A,B tais que
\frac1{y(y-1)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{y-1}.
Isto implica
A(y-1) + B\,y = 1 \;\Longrightarrow\; (A+B)\,y - A = 1
de onde A+B=0 e -A=1, logo A=-1, B=1. Assim
\frac{1}{y(y-1)} = -\frac1{y} + \frac1{y-1}.

Passo 4

Integrando ambos os lados em bloco:
\int \frac{dy}{y(y-1)} = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \int\Bigl(-\tfrac1{y}+\tfrac1{y-1}\Bigr)dy = \int \frac{dx}{x}.
No lado esquerdo
-\ln\bigl|y\bigr| + \ln\bigl|y-1\bigr| = \ln\Bigl|\tfrac{y-1}{y}\Bigr|,
e no direito
\int \frac{dx}{x} = \ln\bigl|x\bigr| + C.
Portanto
\ln\Bigl|\tfrac{y-1}{y}\Bigr| = \ln\bigl|x\bigr| + C.

Passo 5

Exponentiando, absorvemos o sinal num constante K:
\Bigl|\tfrac{y-1}{y}\Bigr| = K\,|x| \quad\Longrightarrow\quad \frac{y-1}{y} = C\,x,
onde C já pode ter sinal. Daí
y - 1 = C\,x\,y \quad\Longrightarrow\quad y\,(1 - C\,x) = 1 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{1 - C\,x}.

Passo 6

Usamos y(\tfrac12)=\tfrac12 para achar C:
\frac{1}{1 - C\cdot\tfrac12} = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad 1 = \tfrac12\,(1 - \tfrac C2) \quad\Longrightarrow\quad 2 = 1 - \tfrac C2 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac C2 = -1 \quad\Longrightarrow\quad C = -2.

Passo 7

Substituindo C=-2 obtemos a solução geral que satisfaz a condição inicial:
y(x) = \frac{1}{1 - (-2)\,x} = \frac{1}{1 + 2x}.
O domínio natural é x\neq -\tfrac12, mas inclui x=\tfrac12.

Resposta

y(x) = \frac{1}{1 + 2x}.

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