Questão 2 Resolva a equação dada usando uma substituição adequada.
\left(y^{2}+y x\right) d x-x^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(y^{2}+y x\bigr)\,dx \;-\;x^{2}\,dy=0
Usaremos uma substituição adequada para transformar em uma equação separável. Como aparece a razão y/x, vamos testar y=v\,x.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação em forma de derivada:
\bigl(y^{2}+x\,y\bigr)\,dx = x^{2}\,dy \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{dy}{dx} = \frac{y^{2}+x\,y}{x^{2}} = \Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2} + \frac{y}{x}.

Passo 3

Fazendo a troca y=v\,x, temos
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo em \frac{dy}{dx} = v^{2}+v
v + x\frac{dv}{dx} = v^{2}+v \qquad\Longrightarrow\qquad x\frac{dv}{dx} = v^{2}.

Passo 4

Agora a equação está separável:
\frac{dv}{v^{2}} = \frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{dv}{v^{2}} = \int \frac{dx}{x} \qquad\Longrightarrow\qquad -\,\frac{1}{v} = \ln\lvert x\rvert + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original, v = \frac{y}{x}, temos
-\frac{1}{\,y/x\,} = \ln\lvert x\rvert + C \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{x}{y} = \ln\lvert x\rvert + C.
Multiplicando por -1 e rearranjando, uma forma implícita da solução é
\frac{x}{y} + \ln\lvert x\rvert = C'.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
\frac{x}{y} + \ln\lvert x\rvert = C',
onde C' é constante arbitrária.

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