Questão 2 Resolva a equação dada usando uma substituição adequada.
\left\{\begin{array}{l}2 x^{2} \frac{d y}{d x}=3 x y+y^{2} \\\ y(1)=-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
2x^{2}\frac{dy}{dx}=3xy+y^{2},
com condição inicial y(1)=-2.
Este é um caso de equação de Bernoulli, pois podemos escrevê-la como
\frac{dy}{dx}-\frac{3}{2x}\,y=\frac{1}{2x^{2}}\,y^{2}.
Para resolver, faremos a substituição típica de Bernoulli: v=1/y.

Passo 2

Dividindo a equação original por 2x^{2} temos
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2x}\,y+\frac{1}{2x^{2}}\,y^{2}.
Reescrevendo em forma padrão
\frac{dy}{dx}-\frac{3}{2x}\,y=\frac{1}{2x^{2}}\,y^{2}.
Como é um caso de Bernoulli com expoente n=2, definimos
v=\frac{1}{y} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{dx}=-\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}.

Passo 3

Multiplicando a equação de Bernoulli por -1/y^{2} obtemos
-\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}+\frac{3}{2x}\,\frac{1}{y} =-\frac{1}{2x^{2}}.
Ou seja, em termos de v:
\frac{dv}{dx}+\frac{3}{2x}\,v=-\frac{1}{2x^{2}},
que é uma equação linear em v.

Passo 4

O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int\frac{3}{2x}\,dx\Bigr) =\exp\!\bigl(\tfrac{3}{2}\ln x\bigr) =x^{3/2}.
Multiplicando tudo por x^{3/2} tem-se
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3/2}v\bigr) =-\frac{1}{2x^{2}}\,x^{3/2} =-\tfrac12\,x^{-1/2}.
Integrando em x:
x^{3/2}v=-\tfrac12\int x^{-1/2}dx =-\tfrac12\cdot2x^{1/2}+C =-x^{1/2}+C.
Logo
v=\frac{C - x^{1/2}}{x^{3/2}} =C\,x^{-3/2}-x^{-1}.

Passo 5

Voltando a y=1/v,
y=\frac{1}{C\,x^{-3/2}-x^{-1}} =\frac{x}{C\,x^{-1/2}-1} =\frac{x^{3/2}}{C - x^{1/2}}.
Impondo y(1)=-2
\frac{1^{3/2}}{C-1^{1/2}}=-2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{C-1}=-2 \quad\Longrightarrow\quad C=\tfrac12.
Portanto a solução particular é
y(x) =\frac{x^{3/2}}{\tfrac12 - x^{1/2}} =\frac{2\,x^{3/2}}{1-2\,x^{1/2}}.

Resposta

y(x)=\frac{2\,x^{3/2}}{1-2\,\sqrt{x}}.

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