Questão 2 Resolva a equação dada usando uma substituição adequada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
com condição inicial
.
Este é um caso de equação de Bernoulli, pois podemos escrevê-la como
Este é um caso de equação de Bernoulli, pois podemos escrevê-la como
Para resolver, faremos a substituição típica de Bernoulli:
.
Passo 2
Dividindo a equação original por
temos
Reescrevendo em forma padrão
Como é um caso de Bernoulli com expoente
, definimos
Passo 3
Multiplicando a equação de Bernoulli por
obtemos
Ou seja, em termos de
:
que é uma equação linear em
.
Passo 4
O fator integrante é
Multiplicando tudo por
tem-se
Integrando em
:
Logo
Passo 5
Voltando a
,
Impondo
dá
Portanto a solução particular é