Sejam A, B, C \in \mathcal{P}(X). Prove que:
A-(B \cap C)=(A-B) \cup(A-C)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer conjuntos A,B,C\subseteq X, vale
A - (B\cap C) \;=\; (A - B)\;\cup\;(A - C).
Aqui vamos usar a definição de diferença de conjuntos
A - D = \{\,x\in A \mid x\notin D\},
a definição de interseção
B\cap C = \{\,x\mid x\in B\\ \text{e}\\ x\in C\},
e a lei de De Morgan para negação de uma conjunção. Faremos prova de duplas inclusões.

Passo 2

Prova de A - (B\cap C)\subseteq (A - B)\cup(A - C). Seja x\in A - (B\cap C).
Então
x\in A \quad\text{e}\quad x\notin B\cap C.
Pela negação da interseção (De Morgan),
x\notin B\cap C \;\Longleftrightarrow\; (x\notin B)\;\text{ou}\;(x\notin C).
Logo
x\in A \quad\text{e}\quad \bigl(x\notin B\;\text{ou}\;x\notin C\bigr) \;\Longrightarrow\; \bigl(x\in A\land x\notin B\bigr)\;\text{ou}\;\bigl(x\in A\land x\notin C\bigr).
Isso diz exatamente que x\in A - B ou x\in A - C. Portanto x\in (A-B)\cup(A-C).

Passo 3

Prova de (A - B)\cup(A - C)\subseteq A - (B\cap C). Seja x\in (A - B)\cup(A - C).
Então ou
  1. x\in A - B, isto é, x\in A e x\notin B,
    ou
  2. x\in A - C, isto é, x\in A e x\notin C.
Em ambos os casos temos x\in A. Além disso, em 1. segue x\notin B, logo x\notin B\cap C; em 2. segue x\notin C, logo x\notin B\cap C. Portanto em qualquer caso x\in A e x\notin B\cap C, ou seja, x\in A-(B\cap C).

Passo 4

Como mostramos ambas as inclusões
A - (B\cap C)\subseteq (A - B)\cup(A - C) \quad\text{e}\quad (A - B)\cup(A - C)\subseteq A - (B\cap C),
concluímos a igualdade desejada.

Resposta

A - (B\cap C) \;=\; (A - B)\;\cup\;(A - C).

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