Sejam
. Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer conjuntos
, vale
Aqui vamos usar a definição de diferença de conjuntos
a definição de interseção
e a lei de De Morgan para negação de uma conjunção. Faremos prova de duplas inclusões.
Passo 2
Prova de
. Seja
.
Então
Então
Pela negação da interseção (De Morgan),
Logo
Isso diz exatamente que
ou
. Portanto
.
Passo 3
Prova de
. Seja
.
Então ou
Então ou
-
, isto é, e ,
ou -
, isto é, e .
Em ambos os casos temos
. Além disso, em 1. segue
, logo
; em 2. segue
, logo
. Portanto em qualquer caso
e
, ou seja,
.
Passo 4
Como mostramos ambas as inclusões
concluímos a igualdade desejada.