Sejam A, B \in \mathcal{P}(X). Provar que:
A \cup B=\emptyset \Leftrightarrow A=\emptyset e B=\emptyset

Passo 1

O enunciado é: sejam A e B subconjuntos de um conjunto X. Queremos provar a equivalência
A\cup B = \emptyset \quad\Longleftrightarrow\quad A=\emptyset\\ \text{e}\\ B=\emptyset.
Para isso, mostraremos as duas implicações separadamente.

Passo 2

Provar que A\cup B=\emptyset implica A=\emptyset e B=\emptyset. Suponha que
A\cup B = \emptyset.
Para ver que A=\emptyset, faça prova por contradição: se existisse x\in A, então x\in A\cup B, mas isso contradiz A\cup B=\emptyset. Logo não há elemento em A, isto é, A=\emptyset. De modo análogo, qualquer x\in B estaria em A\cup B, contradizendo a hipótese, de modo que B=\emptyset.

Passo 3

Provar que A=\emptyset e B=\emptyset implica A\cup B=\emptyset. Suponha agora
A=\emptyset \quad\text{e}\quad B=\emptyset.
Se, por absurdo, existisse um x\in A\cup B, então x\in A ou x\in B. Como ambos são vazios, isso é impossível. Portanto não há elemento em A\cup B, ou seja, A\cup B=\emptyset.

Resposta

Assim mostramos as duas direções, concluindo que
A\cup B = \emptyset \quad\Longleftrightarrow\quad A=\emptyset\\ \text{e}\\ B=\emptyset.

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