Questão 3 (Leis da Álgebra). Prove as Leis da Álgebra para os inteiros. Para quaisquer
:
a) Comutatividade:
e
.
b) Associatividade:
.
c) Elementos neutros: Mostre que
e
agem como identidade aditiva e multiplicativa, respectivamente.
d) Inverso Aditivo: Para todo
, prove que existe um único inteiro
tal que
. A partir de agora, denotaremos este elemento único por
.
e) Distributividade:
.
f) Lei do Anulamento: Se
, então
ou
.
a) Comutatividade:
b) Associatividade:
c) Elementos neutros: Mostre que
d) Inverso Aditivo: Para todo
e) Distributividade:
f) Lei do Anulamento: Se
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos (definições que vamos usar, extraídas do enunciado implícito sobre a construção de
).
-
Queremos provar, para quaisquer
, as propriedades:
a) comutatividade dee de ;
b) associatividade dee de ;
c) quee são elementos neutros aditivo e multiplicativo, respectivamente;
d) existência e unicidade do inverso aditivo (denotado por);
e) distributividade;
f) lei do anulamento: seentão ou . -
Lembrete da construção usada (padrão para inteiros):
- Inteiros são classes de equivalência de pares de naturais:
, onde - Denotamos a classe de
por . - As operações são definidas por representantes:
- Inteiros são classes de equivalência de pares de naturais:
- Os representantes escritos acima são bien-definidos (isto é, não dependem da escolha de representantes); aqui vamos usar isso sem reprovar toda a prova da bien-definição (mas usaremos sempre manipulações com representantes).
- Os elementos indicados no enunciado:
e .
Agora que está claro o que provar e quais definições usaremos, começamos as demonstrações passo a passo.
Passo 2
Prova da comutatividade da adição:
.
- Tome
e (aqui ). - Pela definição de soma:
- Como a adição em
é comutativa ( e ), obtemos - Logo
. (Explicação da etapa: usamos apenas que somar naturais é comutativo; escrever classes por representantes permite trocar as ordens.)
Passo 3
Prova da comutatividade da multiplicação:
.
- Com os mesmos representantes
e , - Usando comutatividade da multiplicação e da adição em
: , , , . Assim e portanto - Logo
.
Passo 4
Prova da associatividade da adição:
.
- Tome
. - Calcule o lado esquerdo:
então - Calcule o lado direito:
então - Como a adição em
é associativa, as duas expressões coincidem como classes, logo .
Passo 5
Prova da associatividade da multiplicação:
.
- Use os mesmos representantes
. - Primeiro calcule
: Agora multiplique por : Simplificando (usando distributividade e associatividade em ): - Agora calcule
: Multiplicando por : Expandindo e reorganizando: - Observando os dois pares acima, os termos aparecem na mesma soma, possivelmente em ordem diferente; pela comutatividade e associatividade da adição em
os pares são iguais, portanto as classes coincidem:
Passo 6
Prova de que
é identidade aditiva e
é identidade multiplicativa.
-
Identidade aditiva:
- Para
, pois e em . - Assim
age como identidade para .
- Para
-
Identidade multiplicativa:
- Para
, porque e etc. - Logo
é identidade multiplicativa.
- Para
Passo 7
Existência do inverso aditivo: para todo
existe
tal que
.
- Dado
, tome (simplesmente invertendo as coordenadas do representante). - Calcule:
- A classe
é equivalente a porque ; mais formalmente já que . Portanto - Assim todo inteiro tem um inverso aditivo explicitamente dado por
.
(Comentário didático: a ideia é ver
como a “diferença”
; então o inverso aditivo é
, que corresponde à classe
.)
Passo 8
Unicidade do inverso aditivo: se
e
satisfazem
e
, então
.
- Suponha
e . Então somando o mesmo elemento em ambos os lados (ou raciocinando com classes) temos - Aqui usamos associatividade e comutatividade da adição e o fato de
. Portanto o inverso aditivo é único.
(Explicação alternativa mais direta com representantes: se
,
e
então
o que implica
. Se também
com
então
. Subtraindo as igualdades (ou raciocinando com cancelamento) obtemos
, isto é,
.)
Passo 9
Prova da distributividade:
.
- Tome
. - Calcule
: Então Expandindo usando distributividade e associatividade em : - Agora calcule
. Primeiro Somando: - Comparando os pares, pelas propriedades da adição em
as somas coincidem coordenada a coordenada, portanto as classes coincidem:
(Comentário: esta prova é meramente algebra sobre as coordenas nas classes; dependemos da distributividade em
.)
Passo 10
Prova da Lei do Anulamento (sem divisores de zero): se
então
ou
.
- Tome
e e suponha - Pela definição do produto,
A igualdade com significa que os representantes satisfazem a relação de equivalência: - Reescrevendo os termos, obtemos
Fatorando: - Agora consideramos casos conforme
e : - Se
então (pois ), logo e estamos feitos. - Se
, então é um natural estritamente positivo; sem perda de generalidade suponha (o outro caso é análogo). Então e . A equação vira .
Em, quando multiplicamos ambos os lados por um natural , a multiplicação por é injetiva: se com então . (Justificativa curta: é a soma de cópias de ; se então pela monotonicidade da adição repetida, portanto igualdade força .)
Assim, dee segue . Mas significa que , logo .
- Se
- Em ambos os subcasos concluímos que
ou . Isso prova a lei do anulamento.
(Comentário didático: a ideia intuitiva é que a classe
corresponde à diferença
. O produto corresponde ao produto dessas diferenças; se o produto das diferenças é zero, uma das diferenças tem que ser zero. A prova formal acima traduz isso em igualdades de representantes e usa a injetividade da multiplicação por um natural positivo.)
Resposta
a)
e
.
b) e
.
c) é identidade aditiva e
é identidade multiplicativa.
d) Para todo existe único
tal que
; explicitamente, se
então
.
e) .
f) Se então
ou
.
b)
c)
d) Para todo
e)
f) Se