Questão 3 (Leis da Álgebra). Prove as Leis da Álgebra para os inteiros. Para quaisquer x, y, z \in \mathbb{Z} :
a) Comutatividade: x+y=y+x e x \cdot y=y \cdot x.
b) Associatividade: (x+y)+z=x+(y+z) \mathrm{e}(x \cdot y) \cdot z=x \cdot(y \cdot z).
c) Elementos neutros: Mostre que 0_{\mathbb{Z}}=[(0,0)] e 1_{\mathbb{Z}}=[(1,0)] agem como identidade aditiva e multiplicativa, respectivamente.
d) Inverso Aditivo: Para todo x \in \mathbb{Z}, prove que existe um único inteiro y \in \mathbb{Z} tal que x+y= 0_{\mathbb{Z}}. A partir de agora, denotaremos este elemento único por -x.
e) Distributividade: x \cdot(y+z)=x \cdot y+x \cdot z.
f) Lei do Anulamento: Se x \cdot y=0_{\mathbb{Z}}, então x=0_{\mathbb{Z}} ou y=0_{\mathbb{Z}}.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos (definições que vamos usar, extraídas do enunciado implícito sobre a construção de \mathbb{Z}).
  • Queremos provar, para quaisquer x,y,z\in\mathbb{Z}, as propriedades:
    a) comutatividade de + e de \cdot;
    b) associatividade de + e de \cdot;
    c) que 0_{\mathbb{Z}}=[(0,0)] e 1_{\mathbb{Z}}=[(1,0)] são elementos neutros aditivo e multiplicativo, respectivamente;
    d) existência e unicidade do inverso aditivo (denotado por -x);
    e) distributividade x\cdot(y+z)=x\cdot y + x\cdot z;
    f) lei do anulamento: se x\cdot y=0_{\mathbb{Z}} então x=0_{\mathbb{Z}} ou y=0_{\mathbb{Z}}.
  • Lembrete da construção usada (padrão para inteiros):
    • Inteiros são classes de equivalência de pares de naturais: \mathbb{Z}=(\mathbb{N}\times\mathbb{N})/\!\sim, onde (a,b)\sim (c,d)\quad\text{se, e somente se,}\quad a+d=b+c.
    • Denotamos a classe de (a,b) por [(a,b)].
    • As operações são definidas por representantes: [(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,\;b+d)],
[(a,b)]\cdot[(c,d)]=[(ac+bd,\;ad+bc)].
  • Os representantes escritos acima são bien-definidos (isto é, não dependem da escolha de representantes); aqui vamos usar isso sem reprovar toda a prova da bien-definição (mas usaremos sempre manipulações com representantes).
  • Os elementos indicados no enunciado: 0_{\mathbb{Z}}=[(0,0)] e 1_{\mathbb{Z}}=[(1,0)].
Agora que está claro o que provar e quais definições usaremos, começamos as demonstrações passo a passo.

Passo 2

Prova da comutatividade da adição: x+y=y+x.
  • Tome x=[(a,b)] e y=[(c,d)] (aqui a,b,c,d\in\mathbb{N}).
  • Pela definição de soma: x+y = [(a+c,\; b+d)].
  • Como a adição em \mathbb{N} é comutativa ( a+c=c+a e b+d=d+b), obtemos [(a+c,\;b+d)]=[(c+a,\;d+b)]=y+x.
  • Logo x+y=y+x. (Explicação da etapa: usamos apenas que somar naturais é comutativo; escrever classes por representantes permite trocar as ordens.)

Passo 3

Prova da comutatividade da multiplicação: x\cdot y=y\cdot x.
  • Com os mesmos representantes x=[(a,b)] e y=[(c,d)], x\cdot y = [(ac+bd,\; ad+bc)].
  • Usando comutatividade da multiplicação e da adição em \mathbb{N}: ac=ca, bd=db, ad=da, bc=cb. Assim (ac+bd,\; ad+bc)=(ca+db,\; da+cb),e portanto [(ac+bd,\;ad+bc)]=[(ca+db,\;da+cb)]=y\cdot x.
  • Logo x\cdot y=y\cdot x.

Passo 4

Prova da associatividade da adição: (x+y)+z = x+(y+z).
  • Tome x=[(a,b)],\; y=[(c,d)],\; z=[(e,f)].
  • Calcule o lado esquerdo: x+y = [(a+c,\;b+d)],então (x+y)+z = [(a+c+e,\; b+d+f)].
  • Calcule o lado direito: y+z=[(c+e,\; d+f)],então x+(y+z) = [(a+c+e,\; b+d+f)].
  • Como a adição em \mathbb{N} é associativa, as duas expressões coincidem como classes, logo (x+y)+z=x+(y+z).

Passo 5

Prova da associatividade da multiplicação: (x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z).
  • Use os mesmos representantes x=[(a,b)],\; y=[(c,d)],\; z=[(e,f)].
  • Primeiro calcule x\cdot y: x\cdot y = [(ac+bd,\; ad+bc)].Agora multiplique por z: (x\cdot y)\cdot z = [\big((ac+bd)e + (ad+bc)f,\; (ac+bd)f + (ad+bc)e\big)].Simplificando (usando distributividade e associatividade em \mathbb{N}): (x\cdot y)\cdot z = [(ace+bde+adf+bcf,\; acf+bdf+ade+bce)].
  • Agora calcule y\cdot z: y\cdot z = [(ce+df,\; cf+de)].Multiplicando x por y\cdot z: x\cdot(y\cdot z) = [(a(ce+df)+b(cf+de),\; a(cf+de)+b(ce+df))].Expandindo e reorganizando: x\cdot(y\cdot z) = [(ace+adf+bcf+bde,\; acf+ade+bce+bdf)].
  • Observando os dois pares acima, os termos aparecem na mesma soma, possivelmente em ordem diferente; pela comutatividade e associatividade da adição em \mathbb{N} os pares são iguais, portanto as classes coincidem: (x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z).

Passo 6

Prova de que 0_{\mathbb{Z}}=[(0,0)] é identidade aditiva e 1_{\mathbb{Z}}=[(1,0)] é identidade multiplicativa.
  • Identidade aditiva:
    • Para x=[(a,b)], x + 0_{\mathbb{Z}} = [(a,b)]+[(0,0)] = [(a+0,\; b+0)] = [(a,b)] = x,pois a+0=a e b+0=b em \mathbb{N}.
    • Assim 0_{\mathbb{Z}} age como identidade para +.
  • Identidade multiplicativa:
    • Para x=[(a,b)], x\cdot 1_{\mathbb{Z}} = [(a,b)]\cdot[(1,0)] = [(a\cdot 1 + b\cdot 0,\; a\cdot 0 + b\cdot 1)] = [(a,\; b)] = x,porque a\cdot 1=a e b\cdot 0=0 etc.
    • Logo 1_{\mathbb{Z}} é identidade multiplicativa.

Passo 7

Existência do inverso aditivo: para todo x\in\mathbb{Z} existe y\in\mathbb{Z} tal que x+y=0_{\mathbb{Z}}.
  • Dado x=[(a,b)], tome y=[(b,a)] (simplesmente invertendo as coordenadas do representante).
  • Calcule: x+y = [(a,b)]+[(b,a)] = [(a+b,\; b+a)] = [(a+b,\; a+b)].
  • A classe [(a+b,\; a+b)] é equivalente a [(0,0)] porque (a+b)+(0) = (a+b) = (a+b)+0; mais formalmente (a+b,a+b)\sim(0,0) já que a+b + 0 = a+b = a+b + 0. Portanto x+y = 0_{\mathbb{Z}}.
  • Assim todo inteiro tem um inverso aditivo explicitamente dado por -x = [(b,a)].
(Comentário didático: a ideia é ver [(a,b)] como a “diferença” a-b; então o inverso aditivo é b-a, que corresponde à classe [(b,a)].)

Passo 8

Unicidade do inverso aditivo: se y e y' satisfazem x+y=0_{\mathbb{Z}} e x+y'=0_{\mathbb{Z}}, então y=y'.
  • Suponha x+y=0 e x+y'=0. Então somando o mesmo elemento (-x) em ambos os lados (ou raciocinando com classes) temos y = y + 0 = y + (x + y') = (y+x)+y' = (x+y)+y' = 0 + y' = y'.
  • Aqui usamos associatividade e comutatividade da adição e o fato de x+y'=0. Portanto o inverso aditivo é único.
(Explicação alternativa mais direta com representantes: se x=[(a,b)], y=[(c,d)] e x+y=0 então (a+c,b+d)\sim(0,0) o que implica a+c=b+d. Se também x+y' =0 com y'=[(c',d')] então a+c'=b+d'. Subtraindo as igualdades (ou raciocinando com cancelamento) obtemos c-d = c'-d', isto é, y=y'.)

Passo 9

Prova da distributividade: x\cdot(y+z) = x\cdot y + x\cdot z.
  • Tome x=[(a,b)],\; y=[(c,d)],\; z=[(e,f)].
  • Calcule y+z: y+z = [(c+e,\; d+f)].Então x\cdot(y+z) = [(a,b)]\cdot[(c+e,\; d+f)] = [(a(c+e)+b(d+f),\; a(d+f)+b(c+e))].Expandindo usando distributividade e associatividade em \mathbb{N}: x\cdot(y+z) = [(ac+ae+bd+bf,\; ad+af+bc+be)].
  • Agora calcule x\cdot y + x\cdot z. Primeiro x\cdot y = [(ac+bd,\; ad+bc)],\qquad x\cdot z = [(ae+bf,\; af+be)].Somando: x\cdot y + x\cdot z = [(ac+bd+ae+bf,\; ad+bc+af+be)].
  • Comparando os pares, pelas propriedades da adição em \mathbb{N} as somas coincidem coordenada a coordenada, portanto as classes coincidem: x\cdot(y+z) = x\cdot y + x\cdot z.
(Comentário: esta prova é meramente algebra sobre as coordenas nas classes; dependemos da distributividade em \mathbb{N}.)

Passo 10

Prova da Lei do Anulamento (sem divisores de zero): se x\cdot y = 0_{\mathbb{Z}} então x=0_{\mathbb{Z}} ou y=0_{\mathbb{Z}}.
  • Tome x=[(a,b)] e y=[(c,d)] e suponha x\cdot y = 0_{\mathbb{Z}} = [(0,0)].
  • Pela definição do produto, x\cdot y = [(ac+bd,\; ad+bc)].A igualdade com [(0,0)] significa que os representantes satisfazem a relação de equivalência: ac+bd = ad+bc.
  • Reescrevendo os termos, obtemos ac+bd = ad+bc \quad\Longrightarrow\quad ac-ad = bc-bd.Fatorando: a(c-d) = b(c-d).
  • Agora consideramos casos conforme c e d:
    1. Se c=d então y=[(c,d)]=[(c,c)]=[(0,0)] (pois (c,c)\sim(0,0)), logo y=0_{\mathbb{Z}} e estamos feitos.
    2. Se c\ne d, então |c-d| é um natural estritamente positivo; sem perda de generalidade suponha c>d (o outro caso é análogo). Então t:=c-d\in\mathbb{N} e t>0. A equação a(c-d)=b(c-d) vira at=bt.
      Em \mathbb{N}, quando multiplicamos ambos os lados por um natural t>0, a multiplicação por t é injetiva: se m t = n t com t>0 então m=n. (Justificativa curta: m t é a soma de t cópias de m; se m<n então m t < n t pela monotonicidade da adição repetida, portanto igualdade força m=n.)
      Assim, de at=bt e t>0 segue a=b. Mas a=b significa que x=[(a,b)]=[(a,a)]=[(0,0)], logo x=0_{\mathbb{Z}}.
  • Em ambos os subcasos concluímos que x=0_{\mathbb{Z}} ou y=0_{\mathbb{Z}}. Isso prova a lei do anulamento.
(Comentário didático: a ideia intuitiva é que a classe [(a,b)] corresponde à diferença a-b. O produto corresponde ao produto dessas diferenças; se o produto das diferenças é zero, uma das diferenças tem que ser zero. A prova formal acima traduz isso em igualdades de representantes e usa a injetividade da multiplicação por um natural positivo.)

Resposta

a) x+y=y+x e x\cdot y=y\cdot x.
b) (x+y)+z=x+(y+z) e (x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z).
c) 0_{\mathbb{Z}}=[(0,0)] é identidade aditiva e 1_{\mathbb{Z}}=[(1,0)] é identidade multiplicativa.
d) Para todo x\in\mathbb{Z} existe único -x\in\mathbb{Z} tal que x+(-x)=0_{\mathbb{Z}}; explicitamente, se x=[(a,b)] então -x=[(b,a)].
e) x\cdot(y+z)=x\cdot y + x\cdot z.
f) Se x\cdot y=0_{\mathbb{Z}} então x=0_{\mathbb{Z}} ou y=0_{\mathbb{Z}}.

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