Questão 1 da Lista em PDF A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por:
\frac{u}{u_{\max }}=1-\left(\frac{2 y}{h}\right)^{2}
onde h é a distância separando as placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a 15^{\circ} \mathrm{C} (viscosidade dinâmica =10^{-3} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} ), com umax =0,60 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e \mathrm{h}=0,08 \mathrm{~mm}. Calcule a tensão de cisalhamento em módulo na placa superior.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas separadas por uma distância h, com perfil de velocidade
\frac{u}{u_{\max}} = 1 - \Bigl(\frac{2y}{h}\Bigr)^{2},
onde a origem y=0 está na linha mediana entre as placas. Queremos a tensão de cisalhamento na placa superior, isto é, em y = +\tfrac{h}{2}. Como a água se comporta como fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento é dada por
\tau = \mu \,\frac{du}{dy},
avaliada na parede.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada do perfil de velocidade em função de y. Escrevendo
u(y) = u_{\max}\Bigl[\,1 - \bigl(\tfrac{2y}{h}\bigr)^{2}\Bigr],
temos
\frac{du}{dy} = u_{\max}\,\frac{d}{dy}\Bigl[1 - \tfrac{4y^{2}}{h^{2}}\Bigr] = u_{\max}\Bigl[-\tfrac{8y}{h^{2}}\Bigr] = -\frac{8\,u_{\max}\,y}{h^{2}}.

Passo 3

Agora avaliamos \tfrac{du}{dy} em y = +\tfrac{h}{2}:
\left.\frac{du}{dy}\right|_{y = \tfrac{h}{2}} = -\frac{8\,u_{\max}}{h^{2}}\cdot\frac{h}{2} = -\frac{8\,u_{\max}}{2\,h} = -\frac{4\,u_{\max}}{h}.

Passo 4

A tensão de cisalhamento em módulo na parede é
\tau_{w} = \bigl|\mu\,\frac{du}{dy}\bigr|_{y = \tfrac{h}{2}} = \mu\;\frac{4\,u_{\max}}{h}.

Passo 5

Substituindo \mu = 10^{-3}\,\mathrm{N\cdot s/m^{2}}, u_{\max}=0{,}60\,\mathrm{m/s} e h=0{,}08\,\mathrm{mm}=8\times10^{-5}\,\mathrm{m}:
\tau_{w} = 10^{-3}\,\frac{4\cdot0{,}60}{8\times10^{-5}} =10^{-3}\,\frac{2{,}4}{8\times10^{-5}} =10^{-3}\times3{,}0\times10^{4} =15\;\mathrm{N/m^{2}}.

Resposta

A tensão de cisalhamento em módulo na placa superior é \displaystyle 15\;\mathrm{N/m^{2}}.

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