Questão 5 da Lista em PDF Um pistão, com diâmetro e comprimento respectivamente iguais a 46,3 e 108,5 \mathrm{~mm}, escorrega dentro de um tubo vertical com velocidade V. A superfície interna do tubo está lubrificada e a espessura do filme de óleo é igual a 0,12 \mathrm{~mm}. Sabendo que a massa do pistão e a viscosidade do óleo são iguais a 0,875 \mathrm{Kg} e 0,95 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}, estime a velocidade V do pistão. Admita que o perfil de velocidade no filme de óleo é linear.

Passo 1

O enunciado descreve um pistão de massa \,m=0,875\;\mathrm{kg} e diâmetro \,D=46{,}3\;\mathrm{mm} que desliza dentro de um tubo lubrificado, com comprimento de contato \,L=108{,}5\;\mathrm{mm} e filme de óleo de espessura \,h=0,12\;\mathrm{mm}. A viscosidade do óleo é \,\mu=0,95\;\mathrm{N\cdot s/m^2}. Vamos estimar a velocidade V do pistão usando a hipótese de perfil de velocidade linear no filme de óleo, equilibrando o peso com a força viscosa de cisalhamento.

Passo 2

Em escoamento com perfil de velocidade linear num filme de espessura h, a tensão de cisalhamento é \r
\tau \;=\;\mu\,\frac{V}{h}. \r
A área de contato lateral entre pistão e tubo é \r
A \;=\;\pi\,D\,L. \r
Logo, a força viscosa que se opõe ao movimento do pistão é \r
F_v \;=\;\tau\,A \;=\;\mu\,\frac{V}{h}\,\pi\,D\,L.

Passo 3

No regime estacionário, a força viscosa equilibra o peso do pistão, ou seja \r
m\,g \;=\;F_v \quad\Longrightarrow\quad m\,g \;=\;\mu\,\frac{V}{h}\,\pi\,D\,L. \r
Desse balanço, isolamos V: \r
V \;=\;\frac{m\,g\,h}{\mu\,\pi\,D\,L}.

Passo 4

Convertemos todas as grandezas para o sistema internacional:\r
D=0,0463\;\mathrm{m},\quad L=0,1085\;\mathrm{m},\quad h=0,00012\;\mathrm{m},\quad g=9{,}81\;\mathrm{m/s^2}. \r
Substituindo em \r
V=\frac{(0,875)(9,81)(0,00012)}{0,95\;\pi\;(0,0463)(0,1085)}, \r
calculamos numericamente:\r
V\approx0,069\;\mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade estimada do pistão é aproximadamente 0,069\;\mathrm{m/s}.

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