Um trecho de 5 m de comprimento de sistema de aquecimento de ar passa por um espaço não aquecido em um porão. A seção transversal do duto retangular mede 20 \mathrm{~cm} \times 25 \mathrm{~cm}. Ar quente entra no duto a 100 kPa e 60^{\circ} \mathrm{C}, com velocidade média de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A temperatura do ar no duto cai para 54^{\circ} \mathrm{C}, como resultado da perda de calor para o espaço frio do porão. Determine a taxa de perda de calor do ar no duto para o porão frio sob condições de regime permanente. Determine também o custo dessa perda de calor por hora, uma vez que a casa é aquecida por uma fornalha de gás natural cuja eficiência é de 80 \%, em uma região onde o custo do gás natural é de US$1,60/therm ( 1 therm = 105.500 kJ ). Considere o calor específico com pressão constante do ar para temperatura média de (54+60) / 2=57^{\circ} \mathrm{C}é de 1,007 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kgK}.

Passo 1

O enunciado dá um duto de seção retangular de 20\:\mathrm{cm}\times25\:\mathrm{cm} por onde passa ar quente de 100\:\mathrm{kPa} e 60^\circ\mathrm{C} a 5\:\mathrm{m/s}. Após 5\:\mathrm{m} em espaço frio, a temperatura cai para 54^\circ\mathrm{C}. Precisamos calcular a taxa de perda de calor \dot Q no regime estacionário e o custo horário dessa perda, sabendo que o calor específico é c_p=1,007\:\mathrm{kJ/(kg\,K)}, a fornalha tem eficiência de 80\% e o gás custa \$1,60 por therm 1\:\mathrm{therm}=105\,500\:\mathrm{kJ}.

Passo 2

Calculamos a vazão mássica \dot m. A área da seção é
A = 0{,}20\times0{,}25 = 0{,}05\:\mathrm{m^2}.
A velocidade é V=5\:\mathrm{m/s}, logo a vazão volumétrica é
\dot V = A\,V = 0{,}05\times5 = 0{,}25\:\mathrm{m^3/s}.
A densidade do ar a 100\:\mathrm{kPa} e T=60^\circ\mathrm{C}=333{,}15\:\mathrm{K} vem da equação dos gases ideais \rho=p/(R\,T), com p=100\:\mathrm{kPa} e R=0{,}287\:\mathrm{kJ/(kg\,K)}:
\rho = \frac{100}{0{,}287\times333{,}15}\approx1{,}045\:\mathrm{kg/m^3}.
Portanto
\dot m = \rho\,\dot V \approx1{,}045\times0{,}25 =0{,}2613\:\mathrm{kg/s}.

Passo 3

Aplicamos o balanço de energia para calcular a taxa de calor cedido ao porão:
\dot Q = \dot m\,c_p\,(T_{\text{in}}-T_{\text{out}}) =0{,}2613\times1{,}007\times(60-54) \approx1{,}58\:\mathrm{kJ/s} =1{,}58\:\mathrm{kW}.

Passo 4

Em uma hora, o calor perdido é
Q_{\text{h}} = \dot Q \times3600 =1{,}58\times3600\approx5688\:\mathrm{kJ}.
Como a fornalha tem eficiência \eta=0{,}8, a energia de gás necessária é
Q_{\text{gás}} = \frac{Q_{\text{h}}}{\eta} \approx\frac{5688}{0{,}8}=7110\:\mathrm{kJ}.á
Em therms:
n = \frac{7110}{105500}\approx0{,}0674\:\mathrm{therm}.

Passo 5

O custo horário é
\text{Custo} = n\times\$1{,}60 \approx0{,}0674\times1{,}60 =\$0{,}108.

Resposta

A taxa de perda de calor é \dot Q\approx1{,}58\:\mathrm{kW}.
O custo dessa perda por hora é cerca de \$0,11.

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