Questão 2: Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de 6 metros de altura. Um homem com 2 m de altura anda, afastando-se do poste com velocidade de 1,2 \mathrm{m} / \mathrm{s} ao longo de uma trajetória reta.
(4 pts) Com que velocidade se move a ponta de sua sombra quando ele está a 12 m do poste?

Passo 1

O enunciado dá uma lâmpada no topo de um poste de 6 m e um homem de 2 m que caminha afastando-se do poste com velocidade constante de 1{,}2\\ \mathrm{m/s}. Vamos chamar de x(t) a distância do homem ao poste e de y(t) o comprimento de sua sombra. Queremos a velocidade com que a ponta da sombra se afasta do poste, isto é, \frac{d}{dt}\bigl(x+y\bigr), no instante em que x=12 m.

Passo 2

Usamos semelhança dos triângulos formados pela lâmpada, pelo homem e pela ponta da sombra:
\frac{6}{\,x+y\,} \;=\;\frac{2}{\,y\,}.

Passo 3

Resolvendo a proporção:
6\,y = 2\,(x+y) \quad\Longrightarrow\quad 6y = 2x + 2y \quad\Longrightarrow\quad 4y = 2x \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{x}{2}.

Passo 4

Derivando em relação ao tempo t:
\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2}\,\frac{dx}{dt}.

Passo 5

Como \frac{dx}{dt}=1{,}2\\ \mathrm{m/s}, segue
\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2}\times1{,}2 = 0{,}6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

A velocidade da ponta da sombra é
\frac{d}{dt}(x+y)=\frac{dx}{dt}+\frac{dy}{dt} =1{,}2 + 0{,}6 = 1{,}8\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

\,1{,}8\\ \mathrm{m/s}

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