Questão 4(1,5) - Uma máquina é calibrada para produzir peças com peso médio igu a 500 g . Para verificar se a máquina está calibrada, uma amostra de 36 peça apresentou média 495 g e desvio padrão 12 g .
a) Teste, ao nível de significância de 5 \%, se a média do peso difere de 500 Calcule o p-valor e interprete-o.
b) Repita o teste a um nível de significância de 2 \%. Comente sobre a diferenç entre os testes.

Passo 1

O enunciado pede um teste de hipótese para a média do peso de peças, assumindo distribuição aproximadamente normal e variância desconhecida. Temos amostra de tamanho n=36, média amostral \bar x = 495 g e desvio padrão amostral s=12 g. O conteúdo aqui é o teste t de Student para médias, onde o estatístico é
T \;=\;\frac{\bar x - \mu_0}{s/\sqrt{n}}\sim t_{\,n-1}.

Passo 2

Formulamos as hipóteses bilaterais:
H_0:\mu=500\text{ g} \quad\text{vs.}\quad H_1:\mu\neq500\text{ g}.
O estatístico de teste é
T=\frac{495 - 500}{12/\sqrt{36}}=\frac{-5}{12/6}=\frac{-5}{2}=-2{,}5.

Passo 3

Para o nível de significância \alpha=5\% (teste bilateral), os valores críticos vêm de t_{0{,}975;35}. Consultando tabela de t com 35 graus de liberdade,
t_{0{,}975;35}\approx2{,}03,
logo a região crítica é \{|T|>2{,}03\}. Como |-2{,}5|=2{,}5 > 2{,}03, rejeitamos H_0.

Passo 4

O p-valor é
p = 2\,P\bigl(t_{35}\le -2{,}5\bigr).
De tabela ou software, P(t_{35}\le -2{,}5)\approx0{,}00866, então
p\approx2\times0{,}00866=0{,}01732.
Significado: há cerca de 1{,}7\% de chance de observarmos média tão longe de 500 g (ou mais) se H_0 fosse verdadeira.

Passo 5

Para \alpha=2\% (bilateral), os críticos são dados por t_{0{,}99;35}\approx2{,}44. A região crítica é \{|T|>2{,}44\}. Como \lvert-2{,}5\rvert=2{,}5>2{,}44, rejeitamos H_0 também a 2\%.
Comentário: ao reduzir \alpha, o teste fica mais conservador t-crítico aumenta), mas aqui o desvio observado ainda é suficiente para rejeitar em ambos os níveis. Se \alpha fosse 1\%, por exemplo, não rejeitaríamos (pois t_{0{,}995;35}\approx2{,}72>2{,}5.

Resposta

a) Rejeita-se H_0 a 5\%; o p-valor é aproximadamente 0{,}0173.
b) A 2\% rejeita-se H_0 também, embora o teste seja mais estrito (valor crítico maior). A conclusão não muda aqui, mas um nível de significância menor exige evidência mais forte.

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