2^ a Questão. Quando uma máquina nova funciona adequadamente, somente 3% dos itens produzidos apresentam defeitos. Suponha que selecionemos aleatoriamente duas peças produzidas na máquina e estejamos interessados no número de peças defeituosas encontradas. (Valor 0,4 pontos)
d)Calcule as probabilidades de não encontrarmos defeitos, encontrarmos exatamente um defeito e encontrarmos dois defeitos.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos fala sobre a taxa de defeitos em uma máquina nova, onde apenas 3% dos itens produzidos têm defeitos. A gente quer calcular as probabilidades de, ao selecionar duas peças aleatoriamente dessa produção, encontrar 0, 1 ou 2 peças defeituosas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que cada peça produzida tem uma chance independente de ser defeituosa. Como a probabilidade de uma peça ser defeituosa é de 3%, ou seja, $ p = 0,03 $, a probabilidade de uma peça não ser defeituosa é $ 1 - p = 0,97 $.

Passo 3

Como estamos selecionando duas peças, vamos aplicar a distribuição binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de um determinado número de sucessos (neste caso, peças defeituosas) em um número fixo de tentativas.
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ n $ é o número de tentativas (neste caso, 2 peças),
  • $ k $ é o número de sucessos (peças defeituosas que queremos encontrar),
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.

Passo 4

Vamos calcular cada uma das probabilidades:
a) Probabilidade de não encontrar defeitos ($ k = 0 $):
k = 0
b) Probabilidade de encontrar exatamente um defeito ($ k = 1 $):
P(0) = binom20 times (0,03)^0 times (0,97)^2 = 1 times 1 times 0,9409 = 0,9409
c) Probabilidade de encontrar dois defeitos ($ k = 2 $):
k = 1

Resposta

As probabilidades são:
  • Nenhum defeito: $ P(0) = 0,9409 $ ou 94,09%
  • Exatamente um defeito: $ P(1) = 0,0582 $ ou 5,82%
  • Dois defeitos: $ P(2) = 0,0009 $ ou 0,09%

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