Seja
uma variável aleatória com distribuição
, calcule:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média $ 10 $ e variância $ 100 $, ou seja, $ X \sim N(10,100) $. Precisamos calcular a probabilidade de $ X $ estar entre $ 10 $ e $ 20 $, isto é, $ P(10 < X < 20) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e a tabela da distribuição normal padrão.
Passo 2
A distribuição normal é simétrica e completamente determinada pela sua média ($ \mu
\sigma $). No nosso caso, temos $ \mu = 10 $ e a variância $ \sigma^2 = 100 $, então o desvio padrão $ \sigma = \sqrt{100} = 10 $.
Passo 3
Para encontrar a probabilidade $ P(10 < X < 20) $, precisamos padronizar os valores $ 10 $ e $ 20 $ para usar a tabela da distribuição normal padrão, que tem média $ 0 $ e desvio padrão $ 1 $. A padronização é feita usando a fórmula:
Passo 4
Vamos calcular o valor de $ Z $ para $ X = 10 $:
E para $ X = 20 $:
Passo 5
Agora, queremos encontrar $ P(0 < Z < 1) $ na distribuição normal padrão. Usando a tabela da distribuição normal ou uma calculadora, encontramos a probabilidade acumulada até $ Z = 1 $, que é aproximadamente $ 0,8413 $. A probabilidade acumulada até $ Z = 0 $ é $ 0,5 $.
Passo 6
A probabilidade $ P(0 < Z < 1) $ é obtida subtraindo a probabilidade até $ Z = 0 $ da probabilidade até $ Z = 1 $:
Resposta
Portanto, a probabilidade de $ X $ estar entre $ 10 $ e $ 20 $ é de aproximadamente $ 0,3413 $ ou $ 34,13% $.