Seja X uma variável aleatória com distribuição N(10,100), calcule:
P(10

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média $ 10 $ e variância $ 100 $, ou seja, $ X \sim N(10,100) $. Precisamos calcular a probabilidade de $ X $ estar entre $ 10 $ e $ 20 $, isto é, $ P(10 < X < 20) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e a tabela da distribuição normal padrão.

Passo 2

A distribuição normal é simétrica e completamente determinada pela sua média ($ \mu mu ã \sigma $). No nosso caso, temos $ \mu = 10 $ e a variância $ \sigma^2 = 100 $, então o desvio padrão $ \sigma = \sqrt{100} = 10 $.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade $ P(10 < X < 20) $, precisamos padronizar os valores $ 10 $ e $ 20 $ para usar a tabela da distribuição normal padrão, que tem média $ 0 $ e desvio padrão $ 1 $. A padronização é feita usando a fórmula:
P(10 < X < 20)

Passo 4

Vamos calcular o valor de $ Z $ para $ X = 10 $:
Z
E para $ X = 20 $:
X = 10

Passo 5

Agora, queremos encontrar $ P(0 < Z < 1) $ na distribuição normal padrão. Usando a tabela da distribuição normal ou uma calculadora, encontramos a probabilidade acumulada até $ Z = 1 $, que é aproximadamente $ 0,8413 $. A probabilidade acumulada até $ Z = 0 $ é $ 0,5 $.

Passo 6

A probabilidade $ P(0 < Z < 1) $ é obtida subtraindo a probabilidade até $ Z = 0 $ da probabilidade até $ Z = 1 $:
P(0 < Z < 1)

Resposta

Portanto, a probabilidade de $ X $ estar entre $ 10 $ e $ 20 $ é de aproximadamente $ 0,3413 $ ou $ 34,13% $.

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