QUESTÃO 6

Marque a alternativa que contém todas as soluções possíveis para X na equação trigonométrica a seguir:
\operatorname{sen}^{2} x-\operatorname{sen} x=0.
(A) 0^{\circ} e 90^{\circ}
B) 0^{\circ}, 180^{\circ} e 90^{\circ}
C) 180^{\circ}
D) 90^{\circ}
E) 45^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede as soluções de x na equação trigonométrica
\operatorname{sen}^{2}x - \operatorname{sen} x = 0.
Estamos no conteúdo de equações trigonométricas básicas e vamos usar fatoração para encontrar todas as raízes (considerando as soluções fundamentais em [0^\circ,360^\circ)).

Passo 2

Fatoramos o lado esquerdo como produto:
\operatorname{sen}^{2}x - \operatorname{sen} x = \operatorname{sen} x\bigl(\operatorname{sen} x - 1\bigr)=0.
Logo, ou \operatorname{sen} x=0 ou \operatorname{sen} x-1=0.

Passo 3

Resolvendo
\operatorname{sen} x = 0:
A solução geral em radianos é x=k\pi, ou em graus
x = k\cdot 180^\circ,\quad k\in\mathbb{Z}.
No intervalo [0^\circ,360^\circ) isso dá
x = 0^\circ\quad\text{ou}\quad x=180^\circ.

Passo 4

Resolvendo
\operatorname{sen} x - 1 = 0\quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen} x = 1:
A solução geral em radianos é x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi, ou em graus
x = 90^\circ + k\cdot 360^\circ,\quad k\in\mathbb{Z}.
Em [0^\circ,360^\circ) temos apenas
x = 90^\circ.

Passo 5

Juntando as raízes em [0^\circ,360^\circ), as soluções são
0^\circ,\;90^\circ\;\text{e}\;180^\circ.
Isso corresponde à alternativa (B).

Resposta

(B) 0^\circ,\;180^\circ\;\text{e}\;90^\circ

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