Questão 3. Seja a função
. Considere que as variáveis
e
dependem de
e
seguindo as relações
e
. Tome
para ser o ponto
.
(a) (6 pts) Encontre o vetor gradiente de
em
.
(b) (2 pts) Encontre a aproximação linear de
em uma vizinhança de
e estime o valor de
.
Curiosidade: O valor real de
.
(c) (2 pts) Em
, qual a direção onde
tem sua maior taxa de variação.
(a) (6 pts) Encontre o vetor gradiente de
(b) (2 pts) Encontre a aproximação linear de
Curiosidade: O valor real de
(c) (2 pts) Em
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos uma função
onde
e
dependem de
e
através das relações:
O ponto de interesse é
. Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente o cálculo de derivadas parciais e o gradiente para resolver as partes (a), (b) e (c) da questão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor gradiente de
no ponto
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de uma função em relação às suas variáveis independentes. No nosso caso, as variáveis independentes são
e
.
Para isso, vamos usar a regra da cadeia, já que
depende de
através de
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia, as derivadas parciais de
em relação a
e
são:
Passo 6
Vamos avaliar todas essas derivadas no ponto
.
Primeiro, calculamos
e
:
Agora, calculamos as derivadas parciais de
em
:
E as derivadas de
e
em
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, aplicamos as derivadas na regra da cadeia:
Assim, o vetor gradiente de
em
é:
Resposta
O vetor gradiente de
no ponto
é
.