Questão 3. Seja a função f(x, y)=x^2+x y^3+y. Considere que as variáveis x e y dependem de u, v e w seguindo as relações x(u, v, w)=sin (u-v)+w^3 e y(u, v, w)=2 ln (u)+v e^w. Tome P para ser o ponto (u, v, w)=(1,1,0).
(a) (6 pts) Encontre o vetor gradiente de f(u, v, w) em P.
(b) (2 pts) Encontre a aproximação linear de f(u, v, w) em uma vizinhança de P e estime o valor de f(1.02,0.98,0.03).
Curiosidade: O valor real de f(1.02,0.98,0.03) approx 1.0973.
(c) (2 pts) Em P, qual a direção onde f(u, v, w) tem sua maior taxa de variação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos uma função f(x, y) = x^2 + x y^3 + y onde x e y dependem de u, v e w através das relações:
x(u, v, w) = sin(u - v) + w^3
y(u, v, w) = 2 ln(u) + v e^w
O ponto de interesse é P = (u, v, w) = (1, 1, 0) . Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente o cálculo de derivadas parciais e o gradiente para resolver as partes (a), (b) e (c) da questão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor gradiente de f(u, v, w) no ponto P . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de uma função em relação às suas variáveis independentes. No nosso caso, as variáveis independentes são u, v e w .
Para isso, vamos usar a regra da cadeia, já que f depende de u, v, w através de x e y .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y :
partial fpartial x = 2x + y^3
partial fpartial y = 3x y^2 + 1

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u, v e w :
Para x(u, v, w) = sin(u - v) + w^3 :
partial xpartial u = cos(u - v)
partial xpartial v = -cos(u - v)
partial xpartial w = 3w^2
Para y(u, v, w) = 2 ln(u) + v e^w :
partial ypartial u = 2u
partial ypartial v = e^w
partial ypartial w = v e^w

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, as derivadas parciais de f em relação a u, v e w são:
partial fpartial u = partial fpartial x cdot partial xpartial u + partial fpartial y cdot partial ypartial u
partial fpartial v = partial fpartial x cdot partial xpartial v + partial fpartial y cdot partial ypartial v
partial fpartial w = partial fpartial x cdot partial xpartial w + partial fpartial y cdot partial ypartial w

Passo 6

Vamos avaliar todas essas derivadas no ponto P = (1, 1, 0) .
Primeiro, calculamos x(P) e y(P) :
x(1, 1, 0) = sin(1 - 1) + 0^3 = sin(0) + 0 = 0
y(1, 1, 0) = 2 ln(1) + 1 cdot e^0 = 2 cdot 0 + 1 cdot 1 = 1
Agora, calculamos as derivadas parciais de f em P :
partial fpartial x = 2(0) + (1)^3 = 0 + 1 = 1
partial fpartial y = 3(0)(1)^2 + 1 = 0 + 1 = 1
E as derivadas de x e y em P :
Para x :
partial xpartial u = cos(1 - 1) = cos(0) = 1
partial xpartial v = -cos(1 - 1) = -cos(0) = -1
partial xpartial w = 3(0)^2 = 0
Para y :
partial ypartial u = 21 = 2
partial ypartial v = e^0 = 1
partial ypartial w = 1 cdot e^0 = 1

Passo 7

Agora, aplicamos as derivadas na regra da cadeia:
partial fpartial u = (1)(1) + (1)(2) = 1 + 2 = 3
partial fpartial v = (1)(-1) + (1)(1) = -1 + 1 = 0
partial fpartial w = (1)(0) + (1)(1) = 0 + 1 = 1
Assim, o vetor gradiente de f(u, v, w) em P é:
nabla f(P) = ( partial fpartial u, partial fpartial v, partial fpartial w ) = (3, 0, 1)

Resposta

O vetor gradiente de f(u, v, w) no ponto P = (1, 1, 0) é nabla f(P) = (3, 0, 1) .

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