Questão: A massa específica da água líquida em função da temperatura pode ser obtida com a seguinte equação: \rho=1008-\mathrm{T} / 2\left[\mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right], com \mathrm{Tem}{ }^{\circ} \mathrm{C}.
(a) Qual a variação percentual da altura da água, em relação a altura inicial, em um tanque com 25 cm de diâmetro, quando a temperatura se eleva em 45^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{e} \mathrm{a} temperatura inicial da água é 14^{\circ} \mathrm{C} ?
(b) Qual o volume (em L) ocupado por 3 kg de água na temperatura final?

Passo 1

O enunciado dá a variação linear da densidade da água com a temperatura segundo
\rho = 1008 - \tfrac{T}{2}\quad[\mathrm{kg/m^3}],
pede:
(a) a variação percentual da altura numa coluna de área constante quando a água esquenta de 14^\circ\mathrm{C} até 14+45=59^\circ\mathrm{C};
(b) o volume, em litros, ocupado por 3,kg de água nessa temperatura final.

Passo 2

Calcular a densidade inicial \rho_i a T_i = 14^\circ\mathrm{C}:
\rho_i = 1008 - \tfrac{14}{2} = 1008 - 7 = 1001\quad[\mathrm{kg/m^3}].

Passo 3

Calcular a densidade final \rho_f a T_f = 59^\circ\mathrm{C}:
\rho_f = 1008 - \tfrac{59}{2} = 1008 - 29{,}5 = 978{,}5\quad[\mathrm{kg/m^3}].

Passo 4

Como a massa m e a área da base A do tanque são constantes, temos
m = \rho_i A h_i = \rho_f A h_f,
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\frac{h_f}{h_i} = \frac{\rho_i}{\rho_f}.

Passo 5

A variação percentual da altura é
\frac{h_f - h_i}{h_i}\times100\% = \Bigl(\frac{\rho_i}{\rho_f}-1\Bigr)\times100\% = \Bigl(\frac{1001}{978{,}5}-1\Bigr)\times100\%\approx2{,}35\%.

Passo 6

O volume ocupado por m=3,kg na densidade final é
V = \frac{m}{\rho_f} = \frac{3}{978{,}5}\,\mathrm{m^3}\approx0{,}003064\,\mathrm{m^3}
e em litros 1\,\mathrm{m^3}=1000\,\mathrm{L}
V\approx3{,}06\;\mathrm{L}.

Resposta

(a) Aproximadamente 2{,}35\% de aumento na altura.
(b) Cerca de 3{,}06,L de água.

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