Questão
: Considere a curva
obtida a partir da intersecção entre o paraboloide elíptico
e o plano
.
(a) Determine uma parametrização
para
;
(b) Encontre a equação da reta tangente à
no ponto (
).
(a) Determine uma parametrização
(b) Encontre a equação da reta tangente à
Passo 1
O enunciado pede parametrizar a curva de interseção
entre o paraboloide
e o plano
, e em seguida obter a reta tangente a essa curva no ponto
. O conteúdo envolve interseções de superfícies, parametrizações de curvas e cálculo de retas tangentes via derivada vetorial.
Passo 2
Substituímos
na equação do plano:
que se reescreve como
Fazendo completamento de quadrado em
e
,
que é um círculo de raio
e centro
.
Passo 3
Para parametrizar esse círculo, usamos um parâmetro
:
Como
, temos
Logo, uma parametrização é
Passo 4
Para achar o ponto
na curva, igualamos
e
. Daí
logo
. Verificamos
, batendo com o ponto dado.
Passo 5
A reta tangente tem direção
. Calculamos
Passo 6
A equação vetorial da reta que passa por
com direção
é
Resposta
(a)
(b)
(b)