Questão 2(\mathbf{2 , 5}) : Considere a curva \mathcal{C}_{2} obtida a partir da intersecção entre o paraboloide elíptico z=x^{2}+y^{2} e o plano 4 x+2 y+z-4=0.
(a) Determine uma parametrização \vec{r}(t) para \mathcal{C}_{2};
(b) Encontre a equação da reta tangente à \mathcal{C}_{2} no ponto ( -2,2,8 ).

Passo 1

O enunciado pede parametrizar a curva de interseção \mathcal C_2 entre o paraboloide z=x^2+y^2 e o plano 4x+2y+z-4=0, e em seguida obter a reta tangente a essa curva no ponto (-2,2,8). O conteúdo envolve interseções de superfícies, parametrizações de curvas e cálculo de retas tangentes via derivada vetorial.

Passo 2

Substituímos \,z=x^2+y^2 na equação do plano:
4x+2y+(x^2+y^2)-4=0,
que se reescreve como
x^2+4x+y^2+2y-4=0.
Fazendo completamento de quadrado em x e y,
(x+2)^2-4+(y+1)^2-1-4=0 \quad\Longrightarrow\quad (x+2)^2+(y+1)^2=9,
que é um círculo de raio 3 e centro (-2,-1).

Passo 3

Para parametrizar esse círculo, usamos um parâmetro t:
x(t)=-2+3\cos t, \quad y(t)=-1+3\sin t.
Como z=x^2+y^2, temos
z(t)=(-2+3\cos t)^2+(-1+3\sin t)^2 =14-12\cos t-6\sin t.
Logo, uma parametrização é
\vec r(t)=\bigl\langle -2+3\cos t,\; -1+3\sin t,\; 14-12\cos t-6\sin t \bigr\rangle.

Passo 4

Para achar o ponto (-2,2,8) na curva, igualamos x(t)=-2 e y(t)=2. Daí
-2+3\cos t=-2\implies\cos t=0, \quad -1+3\sin t=2\implies\sin t=1,
logo t_0=\tfrac\pi2. Verificamos z(\tfrac\pi2)=14-12\cdot0-6\cdot1=8, batendo com o ponto dado.

Passo 5

A reta tangente tem direção \vec r\,'(t_0). Calculamos
\vec r\,'(t)=\bigl\langle -3\sin t,\; 3\cos t,\; 12\sin t-6\cos t \bigr\rangle \quad\Longrightarrow\quad \vec r\,'\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=\langle -3,0,12\rangle.

Passo 6

A equação vetorial da reta que passa por (-2,2,8) com direção \langle -3,0,12\rangle é
\vec L(s)=\langle -2,2,8\rangle+s\langle -3,0,12\rangle.

Resposta

(a) \displaystyle\vec r(t)=\bigl\langle -2+3\cos t,\;-1+3\sin t,\;14-12\cos t-6\sin t\bigr\rangle.
(b) \displaystyle\vec L(s)=\langle -2,2,8\rangle+s\langle -3,0,12\rangle.

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