Questão 1(\mathbf{2 , 5}) : Considere a curva \mathcal{C}_{1} parametrizada por
\vec{r}(t)=\left(e^{t}, e^{-t}, \sqrt{2 t^{2}}\right), \quad t \in[0,+\infty) .
(a) Calcule o comprimento do arco de \mathcal{C}_{1} entre os pontos (1,1,0) e \left(e, e^{-1}, \sqrt{2}\right);
(b) Calcule a curvatura de \mathcal{C}_{1} no ponto (1,1,0).

Passo 1

O enunciado dá a curva \mathcal{C}_{1} parametricamente por
\vec{r}(t)=\bigl(e^{t},\,e^{-t},\,\sqrt{2\,t^{2}}\bigr),\quad t\in[0,\infty),
e pede (a) o comprimento de arco entre os pontos (1,1,0) e \bigl(e,e^{-1},\sqrt{2}\bigr) e (b) a curvatura em (1,1,0).
Conteúdo usado:
– Para comprimento de arco de curva paramétrica, usamos
L=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|\,dt.
– Para curvatura de curva no espaço, usamos
\kappa(t)=\frac{\bigl\|\vec{r}\,'(t)\times\vec{r}\,''(t)\bigr\|}{\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|^{3}}.

Passo 2

Identificamos os valores de t nos dois pontos:
– Em t=0, \vec{r}(0)=\bigl(e^{0},e^{0},\sqrt{2\cdot0^{2}}\bigr)=(1,1,0).
– Em t=1, \vec{r}(1)=\bigl(e^{1},e^{-1},\sqrt{2\cdot1^{2}}\bigr)=(e,e^{-1},\sqrt{2}).
Logo, o comprimento vai de t_{0}=0 até t_{1}=1.

Passo 3

Primeiro, calculamos
\vec{r}\,'(t)=\bigl(e^{t},\,-e^{-t},\,\sqrt{2}\bigr).
O módulo é
\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\| =\sqrt{e^{2t}+e^{-2t}+2} =\sqrt{\bigl(e^{t}+e^{-t}\bigr)^{2}} =e^{t}+e^{-t}.
Então o comprimento de arco é
L =\int_{0}^{1}\bigl(e^{t}+e^{-t}\bigr)\,dt =\bigl[e^{t}-e^{-t}\bigr]_{0}^{1} =\bigl(e-e^{-1}\bigr)-\bigl(1-1\bigr) =e-e^{-1}.

Passo 4

Agora a curvatura em t=0. Calculamos
\vec{r}\,''(t)=\bigl(e^{t},\,e^{-t},\,0\bigr),
então em t=0: \vec{r}\,'(0)=(1,-1,\sqrt{2}) e \vec{r}\,''(0)=(1,1,0).
O produto vetorial é
\vec{r}\,'(0)\times\vec{r}\,''(0) =\bigl(-\sqrt{2},\;\sqrt{2},\;2\bigr),
cujo módulo é \sqrt{(-\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Também \|\vec{r}\,'(0)\|=2.
Logo
\kappa(0) =\frac{2\sqrt{2}}{2^{3}} =\frac{2\sqrt{2}}{8} =\frac{\sqrt{2}}{4}.

Resposta

(a) e - e^{-1}.
(b) \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}.

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