Questão 1(\mathbf{2 , 5}) : Considere a curva \mathcal{C}_{1} parametrizada por
\vec{r}(t)=\left(e^{t}, e^{-t}, \sqrt{2 t^{2}}\right), \quad t \in[0,+\infty) .
(a) Calcule o comprimento do arco de \mathcal{C}_{1} entre os pontos (1,1,0) e \left(e, e^{-1}, \sqrt{2}\right);
(b) Calcule a curvatura de \mathcal{C}_{1} no ponto (1,1,0).
Passo 1
O enunciado dá a curva \mathcal{C}_{1} parametricamente por
e pede (a) o comprimento de arco entre os pontos (1,1,0) e \bigl(e,e^{-1},\sqrt{2}\bigr) e (b) a curvatura em (1,1,0).
Conteúdo usado:
– Para comprimento de arco de curva paramétrica, usamos
Identificamos os valores de t nos dois pontos:
– Em t=0, \vec{r}(0)=\bigl(e^{0},e^{0},\sqrt{2\cdot0^{2}}\bigr)=(1,1,0).
– Em t=1, \vec{r}(1)=\bigl(e^{1},e^{-1},\sqrt{2\cdot1^{2}}\bigr)=(e,e^{-1},\sqrt{2}).
Logo, o comprimento vai de t_{0}=0 até t_{1}=1.