Questão 2(\mathbf{3 , 0}) : Considere a curva \mathcal{C}_{1} parametrizada por
\vec{r}(t)=\left(e^{2 t}, 4 e^{t}, 4 t\right), \quad t \in \mathbb{R} .
Calcule a curvatura de \mathcal{C}_{1} no ponto (1,4,0);

Passo 1

O enunciado dá a curva \mathcal{C}_{1} parametrizada por
\vec{r}(t)=\bigl(e^{2t},\,4e^{t},\,4t\bigr),\quad t\in\mathbb{R},
e pede a curvatura em (1,4,0). O conteúdo é geometria diferencial de curvas no espaço, e usaremos a fórmula
\kappa(t)=\frac{\|\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t)\|}{\|\vec{r}'(t)\|^{3}}.

Passo 2

Precisamos achar t_{0} tal que
\vec{r}(t_{0})=(1,4,0).
Como e^{2t_{0}}=1 2t_{0}=0\Rightarrow t_{0}=0, checando: 4e^{0}=4 e 4\cdot0=0.

Passo 3

Calculemos as derivadas:
\vec{r}'(t)=\bigl(2e^{2t},\,4e^{t},\,4\bigr),
\vec{r}''(t)=\bigl(4e^{2t},\,4e^{t},\,0\bigr).

Passo 4

Avalie em t_{0}=0:
\vec{r}'(0)=(2,4,4),\quad \vec{r}''(0)=(4,4,0).

Passo 5

Calcule o produto vetorial e normas:
\vec{r}'(0)\times\vec{r}''(0)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2 & 4 & 4\\\\ 4 & 4 & 0 \end{vmatrix} =(-16,\,16,\,-8),
\bigl\|\vec{r}'(0)\times\vec{r}''(0)\bigr\| =\sqrt{(-16)^{2}+16^{2}+(-8)^{2}}=\sqrt{576}=24,
\|\vec{r}'(0)\|=\sqrt{2^{2}+4^{2}+4^{2}}=\sqrt{36}=6.
Logo a curvatura é
\kappa(0)=\frac{24}{6^{3}}=\frac{24}{216}=\frac{1}{9}.

Resposta

A curvatura de \mathcal{C}_{1} em (1,4,0) é \displaystyle \frac{1}{9}.

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