Questão 2(\mathbf{3 , 0}) : Considere a curva \mathcal{C}_{1} parametrizada por
\vec{r}(t)=\left(e^{2 t}, 4 e^{t}, 4 t\right), \quad t \in \mathbb{R} .
Mostre que a curva \mathcal{C}_{1} está sobre a superfície (y+z)^{2}=16 x+z^{2}+8 z \sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\vec r(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)=\bigl(e^{2t},\,4e^t,\,4t\bigr)
e pede para mostrar que esses pontos satisfazem a equação da superfície
(y+z)^{2}=16x+z^{2}+8z\sqrt{x}.
Para isso, basta substituir x(t), y(t) e z(t) em ambos os lados da igualdade e verificar que coincidem.

Passo 2

Calculamos o lado esquerdo da superfície:
(y+z)^{2}=\bigl(4e^t+4t\bigr)^{2} =16e^{2t}+2\cdot4e^t\cdot4t+(4t)^{2} =16e^{2t}+32t\,e^t+16t^{2}.

Passo 3

Agora o lado direito:
16x+z^{2}+8z\sqrt{x} =16e^{2t}+(4t)^{2}+8\cdot4t\cdot e^t =16e^{2t}+16t^{2}+32t\,e^t.

Passo 4

As duas expressões são idênticas para todo t:
16e^{2t}+32t\,e^t+16t^{2} =16e^{2t}+16t^{2}+32t\,e^t.
Logo, a curva satisfaz a equação da superfície em todos os pontos.

Resposta

A curva \mathcal{C}_{1} está contida na superfície (y+z)^{2}=16x+z^{2}+8z\sqrt{x}, pois ao substituir x=e^{2t}, y=4e^t, z=4t as duas expressões coincidem.

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