Questão
: Considere a curva
obtida a partir da intersecção entre as superfícies
(a) Determine uma parametrização
para
;
(b) Determine a equação da reta tangente à
no ponto (
);
(c) Encontre um ponto em que o plano normal à
é paralelo ao plano
(b) Determine a equação da reta tangente à
(c) Encontre um ponto em que o plano normal à
Passo 1
O enunciado pede para estudar a curva
obtida como interseção das superfícies
e
O conteúdo envolve:
– parametrização de curva de interseção;
– cálculo da reta tangente via derivada da parametrização;
– identificação do plano normal (plano ortogonal à tangente) e condição de paralelismo de planos.
– parametrização de curva de interseção;
– cálculo da reta tangente via derivada da parametrização;
– identificação do plano normal (plano ortogonal à tangente) e condição de paralelismo de planos.
Passo 2
Para parametrizar, nota-se que da primeira superfície temos
Substituindo em
e elevando ao quadrado:
Tomando
, obtemos
Logo, uma parametrização é
Passo 3
Para a reta tangente em
, achamos
tal que
.
Da componente segue
. Confirma-se que
e
.
Calculamos a derivada
Da componente
Calculamos a derivada
logo em
A reta tangente é
Passo 4
O plano normal à curva em
tem vetor normal igual a
. Queremos que ele seja paralelo ao plano de equação
, cujo vetor normal é
.
Impondo
Impondo
temos da segunda componente
. Então
O ponto correspondente é
Resposta
(a)
(b) Reta tangente em :
(c) O ponto em que o plano normal é paralelo a é
(b) Reta tangente em
(c) O ponto em que o plano normal é paralelo a