Questão 3(\mathbf{3 , 0}) : Considere a curva \mathcal{C}_{2} obtida a partir da intersecção entre as superfícies
2 x-z+1=0 \quad \text { e } \quad z=\sqrt{4 x^{2}+(2 y+1)^{2}} .
(a) Determine uma parametrização \vec{r}(t) para \mathcal{C}_{2};
(b) Determine a equação da reta tangente à \mathcal{C}_{2} no ponto ( 0,-1,1 );
(c) Encontre um ponto em que o plano normal à \mathcal{C}_{2} é paralelo ao plano 10 x+2 y+20 z=0

Passo 1

O enunciado pede para estudar a curva \mathcal{C}_{2} obtida como interseção das superfícies
2x - z + 1 = 0
e
z = \sqrt{4x^2 + (2y + 1)^2}.
O conteúdo envolve:
– parametrização de curva de interseção;
– cálculo da reta tangente via derivada da parametrização;
– identificação do plano normal (plano ortogonal à tangente) e condição de paralelismo de planos.

Passo 2

Para parametrizar, nota-se que da primeira superfície temos
z = 2x + 1.
Substituindo em z = \sqrt{4x^2 + (2y + 1)^2} e elevando ao quadrado:
(2x+1)^2 = 4x^2 + (2y+1)^2 \;\Longrightarrow\; 4x^2 +4x+1 =4x^2 +4y^2+4y+1 \;\Longrightarrow\; x = y^2 + y.
Tomando y = t, obtemos
x(t) = t^2 + t, \quad y(t) = t, \quad z(t) = 2x(t) +1 = 2t^2+2t+1.
Logo, uma parametrização é
\vec r(t) = \bigl(t^2+t,\;t,\;2t^2+2t+1\bigr).

Passo 3

Para a reta tangente em (0,-1,1), achamos t_0 tal que \vec r(t_0)=(0,-1,1).
Da componente y(t)=t segue t_0=-1. Confirma-se que x(-1)=0 e z(-1)=1.
Calculamos a derivada
\vec r\,'(t) = \bigl(2t+1,\;1,\;4t+2\bigr),
logo em t_0=-1
\vec r\,'(-1) = (-1,\;1,\;-2).
A reta tangente é
\ell(s) = (0,-1,1) + s\,(-1,1,-2).

Passo 4

O plano normal à curva em \vec r(t) tem vetor normal igual a \vec r\,'(t). Queremos que ele seja paralelo ao plano de equação 10x+2y+20z=0, cujo vetor normal é (10,2,20).
Impondo
(2t+1,\;1,\;4t+2) = \lambda\,(10,2,20)
temos da segunda componente 1=2\lambda\Rightarrow\lambda=\tfrac12. Então
2t+1 = 10\cdot\tfrac12 =5 \;\Longrightarrow\; t=2.
O ponto correspondente é
\vec r(2) = (2^2+2,\;2,\;2\cdot2^2+2\cdot2+1) = (6,\;2,\;13).

Resposta

(a) \displaystyle \vec r(t) = \bigl(t^2+t,\;t,\;2t^2+2t+1\bigr).
(b) Reta tangente em (0,-1,1): \displaystyle (x,y,z) = (0,-1,1) + s\,(-1,1,-2).
(c) O ponto em que o plano normal é paralelo a 10x+2y+20z=0 é \displaystyle (6,\,2,\,13).

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