{ }^{a} Questão. ( \mathbf{2 , 0} \mathbf{~ p t s}\ )
Calcule as integrais.
(b) \int_{0}^{1} x e^{-2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x\,e^{-2x}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos o produto de x (uma função polinomial simples) por e^{-2x} (função exponencial).

Passo 2

Na fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
escolhemos
u = x \quad\text{e}\quad dv = e^{-2x}\,dx.
Dessa escolha segue
du = dx \quad\text{e}\quad v = \int e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2}e^{-2x}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes à integral indefinida, obtemos
\int x\,e^{-2x}\,dx = x\Bigl(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\Bigr) - \int \Bigl(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\Bigr)\,dx = -\tfrac{x}{2}e^{-2x} + \tfrac{1}{2}\int e^{-2x}\,dx.
Como \int e^{-2x}\,dx=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}, concluímos
\int x\,e^{-2x}\,dx = -\tfrac{x}{2}e^{-2x} - \tfrac{1}{4}e^{-2x} + C = -\Bigl(\tfrac{x}{2} + \tfrac{1}{4}\Bigr)e^{-2x} + C.

Passo 4

Definindo
F(x) = -\Bigl(\tfrac{x}{2} + \tfrac{1}{4}\Bigr)e^{-2x},
avaliamos de 0 a 1:
F(1) = -\Bigl(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4}\Bigr)e^{-2} = -\tfrac{3}{4}e^{-2}, \qquad F(0) = -\Bigl(0 + \tfrac{1}{4}\Bigr)e^{0} = -\tfrac{1}{4}.
Logo
\int_{0}^{1} x\,e^{-2x}\,dx = F(1) - F(0) = \Bigl(-\tfrac{3}{4}e^{-2}\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{1}{4}\Bigr) = \tfrac{1}{4} - \tfrac{3}{4}e^{-2}.

Resposta

\frac{1}{4} - \frac{3}{4}\,e^{-2}.

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