Questão.(
Considere a região delimitada pelos gráficos das funções
e
dadas respectivamente por
e o eixo
.
(a) Faça um esboço da região.
(b) Calcule a área da região.
(a) Faça um esboço da região.
(b) Calcule a área da região.
Passo 1
O enunciado pede a região do plano limitada pelos gráficos de
e o eixo
. Em (a) vamos descrever como seria o esboço, e em (b) calcular a área usando integração por partes, reconhecendo que a fronteira se compõe de três “trechos”: de
a
pelo arco de
, de
a
pelo arco de
e de
de volta a
pelo próprio eixo
.
Passo 2
Encontramos os pontos de interseção importantes:
-
cruza o eixo em
-
cruza o eixo em
-
e se intersectam em
Passo 3
Para entender a forma da região, note que em
temos
, mas o pedaço relevante começa em
(onde
toca o eixo) e vai até
(onde
encontra
); daí segue em
até
pela reta
até voltar ao eixo. Os “vértices” desse fecho são
Em resumo, a fronteira é:
– arco de de
a
,
– arco de de
a
,
– trecho do eixo de
a
.
– arco de
– arco de
– trecho do eixo
Passo 4
A área total é a soma de duas integrais, cada uma medindo o “sobe-desce” entre a curva e o eixo:
Passo 5
Calculando as integrais:
1.
1.
Passo 6
Somando as duas partes:
Resposta
A área da região é
.