{ }^{a} Questão.( \mathbf{2 , 5} \mathbf{~ p t s )} Considere a região delimitada pelos gráficos das funções f e g dadas respectivamente por
f(x)=-2 x+3, \quad g(x)=x^{2}
e o eixo x.
(a) Faça um esboço da região.
(b) Calcule a área da região.

Passo 1

O enunciado pede a região do plano limitada pelos gráficos de
f(x) = -2x + 3,\quad g(x) = x^2
e o eixo x. Em (a) vamos descrever como seria o esboço, e em (b) calcular a área usando integração por partes, reconhecendo que a fronteira se compõe de três “trechos”: de x=0 a x=1 pelo arco de g, de x=1 a x=\tfrac32 pelo arco de f e de x=\tfrac32 de volta a 0 pelo próprio eixo x.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção importantes:
  1. g cruza o eixo x em
x^2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0.
  1. f cruza o eixo x em
-2x + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac32.
  1. f e g se intersectam em
x^2 = -2x + 3 \;\Longrightarrow\; x^2 + 2x - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1 \quad(\text{ou }x=-3,\text{ mas só }x=1\text{ entra na região com eixo}).óã

Passo 3

Para entender a forma da região, note que em
-3 < x < 1 temos f(x) > g(x), mas o pedaço relevante começa em x=0 (onde g toca o eixo) e vai até x=1 (onde g encontra f); daí segue em x=1 até x=\tfrac32 pela reta f até voltar ao eixo. Os “vértices” desse fecho são
(0,0),\quad (1,1),\quad \bigl(\tfrac32,0\bigr).
Em resumo, a fronteira é:
– arco de g(x)=x^2 de x=0 a x=1,
– arco de f(x)=-2x+3 de x=1 a x=\tfrac32,
– trecho do eixo x de x=\tfrac32 a x=0.

Passo 4

A área total é a soma de duas integrais, cada uma medindo o “sobe-desce” entre a curva e o eixo:
\text{Área} \;=\; \int_{0}^{1} \bigl[x^2 - 0\bigr]\,dx \;+\; \int_{1}^{\tfrac32}\bigl[(-2x+3) - 0\bigr]\,dx.Á

Passo 5

Calculando as integrais:
1.
\int_{0}^{1} x^2\,dx = \biggl[\frac{x^3}{3}\biggr]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
\int_{1}^{\tfrac32}(-2x+3)\,dx = \bigl[-x^2 +3x\bigr]_{1}^{\tfrac32} = \bigl[-(1{,}5)^2 +3\cdot1{,}5\bigr] -\bigl[-1^2+3\cdot1\bigr] = ( -2{,}25 +4{,}5 ) - ( -1+3 ) = 2{,}25 -2 = 0{,}25.

Passo 6

Somando as duas partes:
\text{Área} = \frac{1}{3} + 0{,}25 = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}.Á

Resposta

A área da região é \tfrac{7}{12}.

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