Questão 2 ( \mathbf{2 , 0} pontos) Um calorímetro ideal isolado contém 500 ml de água a 20^{\circ} \mathrm{C}. Uma esfera de aço, maciça, com 150 \mathrm{~cm}^{3} de volume, a 100^{\circ} \mathrm{C}, é colocada dentro do calorímetro, formando um sistema “água + esfera”.
a) Calcule a temperatura de equilíbrio do sistema. (1,0)
b) Calcule o volume (em ml) do sistema “água + esfera” ao atingir a temperatura de equilíbrio.
Apresente precisão de, pelo menos, 3 casas decimais. (1,0)
Dados: \beta_{\text {água }}=1,3 \cdot 10^{-4}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ; \alpha_{\text {aço }}=1,2 \cdot 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ;áç C _{\text {aço }}=450 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} ;ç Cágua =4190 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} ; \rho_{\text {aço }}=ç 7860 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, 1 \mathrm{~L}=1 \mathrm{dm}^{3}.

Passo 1

O enunciado combina dois conteúdos: calorimetria (equilíbrio térmico sem perdas) para achar a temperatura final T_{\mathrm{eq}} do sistema “água + esfera de aço” e dilatação térmica volumétrica para calcular o volume final de cada parte. Vamos precisar das massas dos corpos, capacidades térmicas e coeficientes de dilatação volumétrica (água) e linear (aço).

Passo 2

Calculamos as massas:
A água tem volume inicial V_{w0}=500 mL =5\times10^{-4}\,\mathrm{m}^3 e densidade \rho_{w}=1000\,\mathrm{kg/m}^3, logo
m_w=\rho_{w}V_{w0}=1000\cdot5\times10^{-4}=0,5\;\mathrm{kg}.
A esfera de aço tem volume inicial V_{s0}=150 cm ^3 = 1,50\times10^{-4}\,\mathrm{m}^3 e densidade \rho_{s}=7860\,\mathrm{kg/m}^3, logo
m_s=\rho_{s}V_{s0}=7860\cdot1,50\times10^{-4}=1,179\;\mathrm{kg}.

Passo 3

Pelo balanço de energia (calor cedido pelo aço = calor absorvido pela água):
m_w C_w\bigl(T_{\mathrm{eq}}-20\bigr)+m_s C_s\bigl(T_{\mathrm{eq}}-100\bigr)=0.
Substituindo m_w=0,5, C_w=4190, m_s=1,179, C_s=450:
0{,}5\cdot4190\,(T_{\mathrm{eq}}-20) +1{,}179\cdot450\,(T_{\mathrm{eq}}-100)=0.
Isto dá
2625{,}55\,T_{\mathrm{eq}}=94955 \quad\Longrightarrow\quad T_{\mathrm{eq}}=\frac{94955}{2625{,}55}\approx36{,}17\;^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Para a água usamos dilatação volumétrica com coeficiente \beta_{w}=1,3\times10^{-4}\,^\circ\mathrm{C}^{-1} e \Delta T_{w}=T_{\mathrm{eq}}-20=16{,}17 \circC:
\Delta V_w=\beta_{w}V_{w0}\,\Delta T_{w} =1{,}3\times10^{-4}\cdot500\;\mathrm{mL}\cdot16{,}17 \approx1{,}051\;\mathrm{mL},
logo
V_{w\!f}=500+1{,}051=501{,}051\;\mathrm{mL}.

Passo 5

Para a esfera de aço usamos coeficiente volumétrico \beta_{s}\approx3\alpha_{s}=3\cdot1,2\times10^{-5}=3,6\times10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1} e \Delta T_{s}=T_{\mathrm{eq}}-100=-63{,}83 \circC:
\Delta V_s=\beta_{s}V_{s0}\,\Delta T_{s} =3{,}6\times10^{-5}\cdot150\;\mathrm{mL}\cdot(-63{,}83) \approx-0{,}345\;\mathrm{mL},
portanto
V_{s\!f}=150-0{,}345=149{,}655\;\mathrm{mL}.

Passo 6

O volume total final é
V_{\mathrm{tot}}=V_{w\!f}+V_{s\!f} =501{,}051+149{,}655 =650{,}706\;\mathrm{mL}.

Resposta

(a) T_{\mathrm{eq}}\approx36{,}17\;^\circ\mathrm{C}.
(b) V_{\mathrm{tot}}\approx650{,}706\;\mathrm{mL}.

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