Questão 2 [ \mathbf{2 , 0} pontos] Resolva em \mathbb{R} a inequação
||x-1|+1|+2 x+3 \leq 2 .

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos resolver em \mathbb{R} a inequação
\bigl|\;|x-1|+1\bigr| \;+\;2x+3 \;\le\;2.
O conteúdo aqui é inequações com valor absoluto. Vamos usar a propriedade de que, se uma expressão interna é sempre não negativa, o módulo externo pode ser removido, e depois dividir em casos conforme o sinal de x-1.

Passo 2

Observe que
|x-1|+1\ge1>0,
logo
\bigl|\;|x-1|+1\bigr| = |x-1|+1.
Substituindo na inequação original, temos
(|x-1|+1) + 2x+3 \le 2 \quad\Longrightarrow\quad |x-1| + 2x + 4 \le 2 \quad\Longrightarrow\quad |x-1| + 2x + 2 \le 0.

Passo 3

Agora dividimos em dois casos conforme o sinal de x-1.
Caso 1: x\ge1.
Nesse caso |x-1|=x-1, então
(x-1) + 2x + 2 \le 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x + 1 \le 0 \quad\Longrightarrow\quad x \le -\tfrac13.
Mas estamos supondo x\ge1, e não há x que seja simultaneamente \ge1 e \le -\tfrac13. Logo nenhuma solução neste caso.

Passo 4

Caso 2: x<1.
Aqui |x-1|=1-x, ficando
(1-x) + 2x + 2 \le 0 \quad\Longrightarrow\quad x + 3 \le 0 \quad\Longrightarrow\quad x \le -3.
Como -3<1, toda solução x \le -3 satisfaz a hipótese x<1. Portanto, neste caso, obtemos
x \le -3.

Resposta

\,(-\infty,-3]\,

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