Questão 1 [ 2,5 pontos] Considere o número real
P=\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\frac{2}{\sqrt[3]{2}} .
Responda os itens a seguir, sem o uso de valores aproximados dos radicais envolvidos:
[ 0,5 ponto] a. Mostre que 2,2<\sqrt{5}<3.
[ 0,5 ponto] b. Mostre que 1,7<\sqrt{3}<2.
[ 0,5 ponto] c. Mostre que 1<\sqrt[3]{4}<1,6.
[1,0 ponto ] d. Usando os itens anteriores, mostre que P está entre 2 e 4 .

Passo 1

O enunciado define
P = \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \;-\;\frac{2}{\sqrt[3]{2}}
e nos pede, após mostrar as desigualdades dos radicais em (a), (b) e (c), usar esses resultados para concluir que
2 < P < 4.
O conteúdo envolve manipulações algébricas (racionalização, leis de expoentes) e uso de desigualdades para radicais.

Passo 2

Mostramos que 2,2<\sqrt{5}<3.
Para isso, elevamos às quadrados as fronteiras:
2{,}2^2 = 4{,}84 < 5, \quad 3^2 = 9 > 5.
Como a função x\mapsto x^2 é crescente para x>0, concluímos
2{,}2<\sqrt{5}<3.

Passo 3

Mostramos que 1,7<\sqrt{3}<2.
Elevando às quadrados:
1{,}7^2 = 2{,}89 < 3, \quad 2^2 = 4 > 3.
Logo, por crescimento de x^2 em x>0,
1{,}7<\sqrt{3}<2.

Passo 4

Mostramos que 1<\sqrt[3]{4}<1,6.
Elevando ao cubo:
1^3 = 1 < 4, \quad 1{,}6^3 = 4{,}096 > 4.
Como x\mapsto x^3 é crescente em x>0, segue
1<\sqrt[3]{4}<1{,}6.

Passo 5

Primeiro, simplificamos cada termo de P:
  1. Racionalização do primeiro quociente:
\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \sqrt{5}+\sqrt{3}.
  1. Uso de leis de expoente no segundo quociente:
\frac{2}{\sqrt[3]{2}} = 2\cdot 2^{-1/3} = 2^{1-1/3} = 2^{2/3} = \sqrt[3]{4}.
Portanto
P = (\sqrt{5}+\sqrt{3}) \;-\;\sqrt[3]{4}.
Agora usamos as desigualdades dos itens (a), (b) e (c):
  • Pela (a) e (b),
\sqrt{5}+\sqrt{3} > 2{,}2 + 1{,}7 = 3{,}9, \quad \sqrt{5}+\sqrt{3} < 3 + 2 = 5.
  • Pela (c),
1<\sqrt[3]{4}<1{,}6.
Assim
P > 3{,}9 - 1{,}6 = 2{,}3 > 2, \quad P < 5 - 1 = 4.
Logo
2 < P < 4.

Resposta

2 < P < 4.

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