Questão 1 [ 2,5 pontos] Considere o número real
Responda os itens a seguir, sem o uso de valores aproximados dos radicais envolvidos:
[ 0,5 ponto] a. Mostre que
.
[ 0,5 ponto] b. Mostre que
.
[ 0,5 ponto] c. Mostre que
.
ponto
d. Usando os itens anteriores, mostre que
está entre 2 e 4 .
[ 0,5 ponto] a. Mostre que
[ 0,5 ponto] b. Mostre que
[ 0,5 ponto] c. Mostre que
Passo 1
O enunciado define
e nos pede, após mostrar as desigualdades dos radicais em (a), (b) e (c), usar esses resultados para concluir que
O conteúdo envolve manipulações algébricas (racionalização, leis de expoentes) e uso de desigualdades para radicais.
Passo 2
Mostramos que
.
Para isso, elevamos às quadrados as fronteiras:
Para isso, elevamos às quadrados as fronteiras:
Como a função
é crescente para
, concluímos
Passo 3
Mostramos que
.
Elevando às quadrados:
Elevando às quadrados:
Logo, por crescimento de
em
,
Passo 4
Mostramos que
.
Elevando ao cubo:
Elevando ao cubo:
Como
é crescente em
, segue
Passo 5
Primeiro, simplificamos cada termo de
:
- Racionalização do primeiro quociente:
- Uso de leis de expoente no segundo quociente:
Portanto
Agora usamos as desigualdades dos itens (a), (b) e (c):
- Pela (a) e (b),
- Pela (c),
Assim
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