1^{a} Questão: ( 2.5 pontos) Encontre a solução geral do sistema não homogêneo
X^{\prime}=A X+\mathbf{f}(t), \quad \text { onde } A=\left(\begin{array}{cc} 4 & -2 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right), \quad \mathbf{f}(t)=\binom{e^{3 t}}{0}

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema não homogêneo de EDOs lineares
X' = A\,X + \mathbf f(t),
com
A = \begin{pmatrix}4 & -2 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \quad \mathbf f(t) = \begin{pmatrix}e^{3t}\\\ 0\end{pmatrix}.
O conteúdo é solução geral de sistemas lineares com coeficientes constantes, usando solução da parte homogênea (autovalores e autovetores) e, depois, método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro obtemos a solução geral do sistema homogêneo X'=AX. Calculamos o polinômio característico:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}4-\lambda & -2 \\\\ 1 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (4-\lambda)(1-\lambda)+2 = \lambda^2 -5\lambda +6,
cujo zero dá \lambda_1=2 e \lambda_2=3.
Para \lambda_1=2, o sistema (A-2I)v=0 leva a v_1=(1,1)^T.
Para \lambda_2=3, obtemos v_2=(2,1)^T.
Logo a solução homogênea é
X_h(t) = C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_2 e^{3t}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Vamos usar variação de parâmetros. Definimos a matriz fundamental
\Phi(t) = \bigl[v_1 e^{2t},\;v_2 e^{3t}\bigr] = \begin{pmatrix}1 & 2\\\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{2t} & 0\\\ 0 & e^{3t}\end{pmatrix}.
A fórmula de variação de parâmetros diz
X_p(t) = \Phi(t)\,\int \Phi(t)^{-1}\,\mathbf f(t)\,dt.

Passo 4

Calculamos \Phi^{-1}(t)\,\mathbf f(t). Note que
\Phi^{-1}(t) = \begin{pmatrix}e^{-2t}&0\\\ 0&e^{-3t}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2\\\ 1&1\end{pmatrix}^{-1},
e
\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&1\end{pmatrix}^{-1} = \frac1{1\cdot1-2\cdot1}\begin{pmatrix}1&-2\\\ -1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1&2\\\ 1&-1\end{pmatrix}.
Então
\Phi^{-1}(t)\,\mathbf f(t) = \begin{pmatrix}e^{-2t}&0\\\ 0&e^{-3t}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1&2\\\ 1&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{3t}\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-e^t\\\ 1\end{pmatrix}.
Integramos componente a componente (desprezando a constante de integração, que se incorpora em X_h):
\int \begin{pmatrix}-e^t\\\ 1\end{pmatrix}dt = \begin{pmatrix}-e^t\t\end{pmatrix}.
Logo
X_p(t) = \Phi(t)\begin{pmatrix}-e^t\t\end{pmatrix} = -\,v_1 e^{2t}e^t + v_2 e^{3t}t = e^{3t}\begin{pmatrix}-1+2t\\\ -1+t\end{pmatrix}.

Passo 5

Juntando X_h e X_p, a solução geral do sistema não homogêneo é
X(t) = C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_2 e^{3t}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} + e^{3t}\begin{pmatrix}2t-1\t-1\end{pmatrix}.

Resposta

X(t) = C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_2 e^{3t}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} + e^{3t}\begin{pmatrix}2t-1\t-1\end{pmatrix}.

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