Questão 3 ( \mathbf{3 , 5} pontos) Dois portos A e B têm capacidade de atendimento diário de 2 e 3 navios. Sejam Xe \mathbf{Y} as variáveis aleatórias que representam respectivamente o número navios atendidos diariamente nos portos A e B. cuja distribuição conjunta de probabilidades é apresentada na tabela abaixo.
\mathrm{X} \boldsymbol{\nabla} \mathrm{Y} 0 1 2
0 0.01 0.05 0.04
1 0.05 0.20 0.15
2 0.05 0.15 0.10
3 0.04 0.10 0.06
Calcular:
a) a probabilidade do porto A atender mais navios que o Porto B
b) da probabilidade do porto B não atender navios
c) as distribuições de probabilidades marginais
d) a probabilidade do porto B atender 3 navios dado que o porto A atende 2 navios
e) O valor esperado de número de atendimentos do porto A dado que o porto B atende 2 navios

Passo 1

O enunciado fornece a distribuição conjunta de probabilidade de X (número de navios atendidos no porto A) e Y (número de navios atendidos no porto B) na tabela abaixo:
\begin{array}{c|ccc} X\backslash Y & 0 & 1 & 2 \\hline 0 & 0,01 & 0,05 & 0,04\\\\ 1 & 0,05 & 0,20 & 0,15\\\\ 2 & 0,05 & 0,15 & 0,10\\\\ 3 & 0,04 & 0,10 & 0,06 \end{array}
Precisamos calcular:
a) P(X>Y),
b) P(Y=0),
c) as marginais P_X(x) e P_Y(y),
d) P(Y=3\mid X=2),
e) E[X\mid Y=2].

Passo 2

Para P(X>Y) somamos todas as probabilidades conjuntas com x>y, ou seja os pares (x,y)=(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2). Assim:
P(X>Y) =0,05+0,05+0,15+0,04+0,10+0,06 =0,45.

Passo 3

Para P(Y=0) somamos todas as entradas da coluna y=0:
P(Y=0) =0,01+0,05+0,05+0,04 =0,15.

Passo 4

As distribuições marginais são
P_X(x)=\sum_{y=0}^{2}P(X=x,Y=y),\quad P_Y(y)=\sum_{x=0}^{3}P(X=x,Y=y).
Calculando cada uma:
P_X(0)=0,10,\;P_X(1)=0,40,\;P_X(2)=0,30,\;P_X(3)=0,20,
P_Y(0)=0,15,\;P_Y(1)=0,50,\;P_Y(2)=0,35.

Passo 5

Para P(Y=3\mid X=2) observamos que não há probabilidade conjunta com y=3, logo P(Y=3,X=2)=0. Como P(X=2)=0,30, temos
P(Y=3\mid X=2) =\frac{0}{0,30} =0.

Passo 6

Para E[X\mid Y=2] usamos
E[X\mid Y=2] =\sum_{x=0}^{3}x\,P(X=x\mid Y=2) =\sum_{x=0}^{3}x\,\frac{P(X=x,Y=2)}{P(Y=2)}.
Sabendo P(Y=2)=0,35 e numerador
0\cdot0,04+1\cdot0,15+2\cdot0,10+3\cdot0,06 =0,53,
vem
E[X\mid Y=2] =\frac{0,53}{0,35} \approx1,5143.

Resposta

(a) P(X>Y)=0,45
(b) P(Y=0)=0,15
(c) P_X(0)=0,10, P_X(1)=0,40, P_X(2)=0,30, P_X(3)=0,20; \;P_Y(0)=0,15, P_Y(1)=0,50, P_Y(2)=0,35
(d) P(Y=3\mid X=2)=0
(e) E[X\mid Y=2]\approx1,5143

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