Questão 1 (3,0 pontos) Seja \mathbf{X} uma variável aleatória uniformemente distribuída sobre (-1, 1). Seja Y uma outra v.a. dada por \mathbf{Y}=\mathbf{1}-\mathbf{X}^{\mathbf{2}}. Caracterizar a \mathbf{Y}.

Passo 1

O enunciado diz que \mathbf{X} é uma v.a. contínua uniforme em (-1,1) com densidade
f_X(x)=\frac12,\quad x\in(-1,1),
e define \mathbf{Y}=1-\mathbf{X}^2. O conteúdo aqui é transformação de variáveis contínuas: vamos achar primeiro a função de distribuição acumulada (FDA) de \mathbf{Y} e depois obter a densidade de probabilidade (pdf).

Passo 2

Determinar o suporte de \mathbf{Y}. Como \mathbf{X}^2 varia entre 0 e 1, temos
\mathbf{Y}=1-\mathbf{X}^2\in[0,1].

Passo 3

Calcular a FDA de \mathbf{Y} para y\in[0,1]:
F_Y(y)=P(Y\le y) = P\bigl(1-X^2\le y\bigr) = P\bigl(X^2\ge 1-y\bigr).
Logo
F_Y(y) =1 - P\bigl(X^2<1-y\bigr) =1 - P\bigl(-\sqrt{1-y}<X<\sqrt{1-y}\bigr).
Como X é uniforme em (-1,1),
P\bigl(-a<X<a\bigr)=\frac{2a}{2}=a,
então, com a=\sqrt{1-y},
P\bigl(X^2<1-y\bigr) =\sqrt{1-y}.
Portanto,
F_Y(y)=1-\sqrt{1-y},\quad 0\le y\le1,
e fora desse intervalo F_Y(y)=0 para y<0 e F_Y(y)=1 para y>1.

Passo 4

Obter a densidade de \mathbf{Y} derivando F_Y:
f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y) =\frac{d}{dy}\bigl(1-(1-y)^{1/2}\bigr) =\frac12\,(1-y)^{-1/2},\quad 0<y<1,
e f_Y(y)=0 fora de [0,1].

Resposta

A variável \mathbf{Y} tem suporte [0,1], FDA
F_Y(y)= \begin{cases} 0, & y<0,\\\\ 1-\sqrt{1-y}, & 0\le y\le1,\\\\ 1, & y>1, \end{cases}
e densidade
f_Y(y)= \begin{cases} \displaystyle \frac1{2\sqrt{1-y}}, & 0<y<1,\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á

Exercícios relacionados