Questão 2 (3,5 pontos) Sejam X e Y variáveis aleatórias com fdp conjunta dada por:
\begin{array}{ll} \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathbf{2}(\mathbf{2 x}+\mathbf{3 y}) / \mathbf{5}, & \text { para } \mathbf{0}<\mathbf{x}<\mathbf{1}, \mathbf{0}<\mathbf{y}<\mathbf{1} \\\ \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathbf{0} & \text { para outros valores } \end{array}
a) demonstrar que \mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) assim definida é, de fato, uma função desnidade de probabilidades
b) Xe Y são vanaveis aleatórias independentes? Justifique
c) Calcular \mathbf{h}(\mathbf{y} / \mathbf{x})
d) Calcular \mathrm{P}(1 / 3<\mathrm{Y}<1 / 2 \mid \mathrm{X}=1 / 3)
Passo 1
O enunciado dá a densidade conjunta
f(x,y)=\frac{2\,(2x+3y)}{5},\quad 0<x<1,\;0<y<1,
e zero caso contrário. Pede:
a) verificar que isso é uma fdp (integra 1 e é não-negativa),
b) checar independência de X e Y,
c) obter a densidade condicional h(y\mid x),
d) calcular \,P\bigl(\tfrac13<Y<\tfrac12\mid X=\tfrac13\bigr).
O conteúdo usado inclui integração dupla para pdf, marginais, teste de independência e densidade condicional.
Passo 2
Para (a), mostramos não-negatividade e integramos sobre o retângulo (0,1)\times(0,1). Primeiro, f(x,y)\ge0 porque 2x+3y>0. Agora
a) A fdp integra a 1 e é não-negativa.
b) Não são independentes, pois f_X(x)f_Y(y)\neq f(x,y).
c) h(y\mid x)=\displaystyle\frac{2\,(2x+3y)}{4x+3},\;0<y<1.
d) \displaystyle P\bigl(\tfrac13<Y<\tfrac12\mid X=\tfrac13\bigr)=\tfrac{23}{156}.