Questão 2 (3,5 pontos) Sejam X e Y variáveis aleatórias com fdp conjunta dada por:
\begin{array}{ll} \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathbf{2}(\mathbf{2 x}+\mathbf{3 y}) / \mathbf{5}, & \text { para } \mathbf{0}<\mathbf{x}<\mathbf{1}, \mathbf{0}<\mathbf{y}<\mathbf{1} \\\ \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathbf{0} & \text { para outros valores } \end{array}
a) demonstrar que \mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) assim definida é, de fato, uma função desnidade de probabilidades
b) Xe Y são vanaveis aleatórias independentes? Justifique
c) Calcular \mathbf{h}(\mathbf{y} / \mathbf{x})
d) Calcular \mathrm{P}(1 / 3<\mathrm{Y}<1 / 2 \mid \mathrm{X}=1 / 3)

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta
f(x,y)=\frac{2\,(2x+3y)}{5},\quad 0<x<1,\;0<y<1,
e zero caso contrário. Pede:
a) verificar que isso é uma fdp (integra 1 e é não-negativa),
b) checar independência de X e Y,
c) obter a densidade condicional h(y\mid x),
d) calcular \,P\bigl(\tfrac13<Y<\tfrac12\mid X=\tfrac13\bigr).
O conteúdo usado inclui integração dupla para pdf, marginais, teste de independência e densidade condicional.

Passo 2

Para (a), mostramos não-negatividade e integramos sobre o retângulo (0,1)\times(0,1). Primeiro, f(x,y)\ge0 porque 2x+3y>0. Agora
\iint_{0}^{1}\!f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{2\,(2x+3y)}{5}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.
Integramos em y:
\int_{0}^{1}(2x+3y)\,\mathrm{d}y =2x\cdot1+3\cdot\frac{1}{2}=2x+\frac{3}{2}.
Multiplicando por 2/5 e integrando em x:
\int_{0}^{1}\frac{2}{5}\Bigl(2x+\tfrac{3}{2}\Bigr)\mathrm{d}x =\frac{2}{5}\Bigl[x^2+\tfrac{3}{2}x\Bigr]_{0}^{1} =\frac{2}{5}\Bigl(1+\tfrac{3}{2}\Bigr) =\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}=1.
Logo f é uma fdp válida.

Passo 3

Para (b) precisamos dos marginais.
A densidade marginal de X é
f_X(x)=\int_{0}^{1}f(x,y)\,\mathrm{d}y =\frac{2}{5}\int_{0}^{1}(2x+3y)\,\mathrm{d}y =\frac{2}{5}\Bigl(2x+\tfrac{3}{2}\Bigr) =\frac{4x+3}{5},\;0<x<1.
A densidade marginal de Y é
f_Y(y)=\int_{0}^{1}f(x,y)\,\mathrm{d}x =\frac{2}{5}\int_{0}^{1}(2x+3y)\,\mathrm{d}x =\frac{2}{5}\Bigl(1+3y\Bigr) =\frac{2+6y}{5},\;0<y<1.

Passo 4

Testamos f_X(x)\,f_Y(y) versus f(x,y).
f_X(x)\,f_Y(y) =\frac{4x+3}{5}\cdot\frac{2+6y}{5} \neq\frac{2(2x+3y)}{5}=f(x,y),
logo X e Y não são independentes.

Passo 5

Para (c), a densidade condicional de Y dado X=x é
h(y\mid x) =\frac{f(x,y)}{f_X(x)} =\frac{\tfrac{2}{5}(2x+3y)}{\tfrac{4x+3}{5}} =\frac{2\,(2x+3y)}{4x+3},\quad 0<y<1.

Passo 6

Para (d), avaliamos em x=\tfrac13 e integramos entre y=1/3 e y=1/2. Primeiro note que, para x=\tfrac13,
h\bigl(y\mid\tfrac13\bigr) =\frac{2\bigl(\tfrac{2}{3}+3y\bigr)}{\tfrac{4}{3}+3} =\frac{4/3+6y}{13/3} =\frac{4+18y}{13}.
Então
P\Bigl(\tfrac13<Y<\tfrac12\Bigm|X=\tfrac13\Bigr) =\int_{1/3}^{1/2}\frac{4+18y}{13}\,\mathrm{d}y =\frac{1}{13}\Bigl[4y+9y^2\Bigr]_{1/3}^{1/2} =\frac{23}{156}.

Resposta

a) A fdp integra a 1 e é não-negativa.
b) Não são independentes, pois f_X(x)f_Y(y)\neq f(x,y).
c) h(y\mid x)=\displaystyle\frac{2\,(2x+3y)}{4x+3},\;0<y<1.
d) \displaystyle P\bigl(\tfrac13<Y<\tfrac12\mid X=\tfrac13\bigr)=\tfrac{23}{156}.

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