Utilize a teoria de Transformada de Laplace para calcular
\mathcal{L}\{t \cos (2 t)\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de t\cos(2t). Vamos usar a propriedade
\mathcal{L}\{t\,f(t)\} = -\frac{d}{ds}\bigl[\mathcal{L}\{f(t)\}\bigr].

Passo 2

Calculemos primeiro
\mathcal{L}\{\cos(2t)\} = \frac{s}{s^{2}+4}.

Passo 3

Aplicando a regra de derivada, temos
\mathcal{L}\{t\cos(2t)\} = -\frac{d}{ds}\!\Bigl[\frac{s}{s^{2}+4}\Bigr] = -\frac{d}{ds}\Bigl(\frac{s}{s^{2}+4}\Bigr).
Derivando:
\frac{d}{ds}\Bigl(\frac{s}{s^{2}+4}\Bigr) = \frac{(s^{2}+4)-s\cdot2s}{(s^{2}+4)^{2}} = \frac{4-s^{2}}{(s^{2}+4)^{2}}.
Logo, com o sinal menos,
\mathcal{L}\{t\cos(2t)\} = \frac{s^{2}-4}{(s^{2}+4)^{2}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t\cos(2t)\} = \frac{s^{2}-4}{(s^{2}+4)^{2}}.

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