Questão 1 ( \mathbf{2 , 0} pontos): Seja T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} a reflexão com respeito à reta de de equação 5 x-y=0. Dê exemplo de uma base do \mathbb{R}^{2} formada por autovalores de T, indicando os autovalores e determine a matriz de T na base canônica do \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2
que reflete vetores em relação à reta de equação 5x - y = 0. Precisamos:
1. Dar um exemplo de base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores de T e indicar os respectivos autovalores.
2. Determinar a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2\}.

Passo 2

Geometricamente, a reflexão fixa todos os vetores que pertencem à reta
L = \{(x,y)\mid 5x - y = 0\},
portanto esses vetores são autovetores de autovalor 1.
Em compensação, a reflexão inverte (multiplica por -1) todos os vetores perpendiculares a L, que são autovetores de autovalor -1.

Passo 3

Escolhemos como autovetores:
v_1 = (1,5), \quad v_2 = (5,-1).
Note que
\langle v_2,v_1\rangle = 5\cdot1 + (-1)\cdot5 = 0,
logo v_2\perp L. Para a reflexão vale
T(v_1) = v_1 \quad(\text{autovalor }1),
T(v_2) = -\,v_2 \quad(\text{autovalor }-1).
Assim \{v_1,v_2\} é base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores com autovalores 1 e -1.

Passo 4

Para obter a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2\} usamos a fórmula da reflexão em torno de uma reta com vetor diretor d=(1,5). Seja
u = \frac{1}{\sqrt{26}}\begin{pmatrix}1\\\ 5\end{pmatrix} o versor nesta direção. A matriz de projeção ortogonal em L é P = u\,u^T = \frac{1}{26}\begin{pmatrix}1 & 5\\[6pt]5 & 25\end{pmatrix}.
Como reflexão satisfaz T = 2P - I, temos
[T] = 2P - I = \frac{1}{13}\begin{pmatrix}1 & 5\\[4pt]5 & 25\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{12}{13} & \tfrac{5}{13}\\[4pt] \tfrac{5}{13} & \tfrac{12}{13} \end{pmatrix}.]

Resposta

Uma base de autovetores é
\{\,v_1=(1,5),\;v_2=(5,-1)\},
com autovalores \lambda_1=1 e \lambda_2=-1.
A matriz de T na base canônica \{e_1,e_2\} é
\begin{pmatrix} -\tfrac{12}{13} & \tfrac{5}{13}\\[4pt] \tfrac{5}{13} & \tfrac{12}{13} \end{pmatrix}.]

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