Questão 1 (
pontos): Seja
a reflexão com respeito à reta de de equação
. Dê exemplo de uma base do
formada por autovalores de
, indicando os autovalores e determine a matriz de
na base canônica do
.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
que reflete vetores em relação à reta de equação . Precisamos:
. Dar um exemplo de base de
formada por autovetores de
e indicar os respectivos autovalores.
. Determinar a matriz de
na base canônica
.
que reflete vetores em relação à reta de equação
Passo 2
Geometricamente, a reflexão fixa todos os vetores que pertencem à reta
portanto esses vetores são autovetores de autovalor
.
Em compensação, a reflexão inverte (multiplica por ) todos os vetores perpendiculares a
, que são autovetores de autovalor
.
Em compensação, a reflexão inverte (multiplica por
Passo 3
Escolhemos como autovetores:
Note que
logo
. Para a reflexão vale
Assim
é base de
formada por autovetores com autovalores
e
.
Passo 4
Para obter a matriz de
na base canônica
usamos a fórmula da reflexão em torno de uma reta com vetor diretor
. Seja
Como reflexão satisfaz
, temos
Resposta
Uma base de autovetores é
com autovalores
e
.
A matriz de na base canônica
é
A matriz de