Questão 2 (1,5 ponto): Determine a matriz que representa, na base canônica do \mathbb{R}^{2}, a rotação no sentido anti-horário de \frac{2 \pi}{3} seguida de uma dilatação de (-4 \sqrt{3}).

Passo 1

O enunciado nos dá uma rotação no sentido anti-horário de \tfrac{2\pi}{3} seguida de uma dilatação de -4\sqrt3. Como ambas são transformações lineares em \mathbb{R}^2, basta representar cada uma por sua matriz na base canônica e compô-las. Vamos usar a fórmula da matriz de rotação e a definição de dilatação como multiplicação escalar.

Passo 2

A matriz de rotação no sentido anti-horário de ângulo \theta na base canônica é
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[6pt] \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Para \theta=\tfrac{2\pi}{3}, temos
\cos\tfrac{2\pi}{3}=-\tfrac12 e \sin\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}, logo
R\Bigl(\tfrac{2\pi}{3}\Bigr) =\begin{pmatrix}-\tfrac12 & -\tfrac{\sqrt3}{2}\\[4pt] \tfrac{\sqrt3}{2} & -\tfrac12\end{pmatrix}.]

Passo 3

A dilatação de fator k=-4\sqrt3 corresponde à multiplicação escalar pela matriz kI. Assim, a composição (rotação seguida de dilatação) tem matriz
A = k\,R\Bigl(\tfrac{2\pi}{3}\Bigr) =(-4\sqrt3)\,R\Bigl(\tfrac{2\pi}{3}\Bigr).

Passo 4

Multiplicando o escalar em cada entrada de R(\tfrac{2\pi}{3}), obtemos
A=\begin{pmatrix} (-4\sqrt3)\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr) & (-4\sqrt3)\cdot\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)\\[6pt] (-4\sqrt3)\cdot\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) & (-4\sqrt3)\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\sqrt3 & 6\\[4pt] -6 & 2\sqrt3 \end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} 2\sqrt3 & 6\\\\ -6 & 2\sqrt3 \end{pmatrix}

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