Questão 3 (2,0 pontos): Consideremos o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} cujo polinômio característico é p(\lambda)=(\lambda+13)^{2}(\lambda-10) com autoespaços
\begin{gathered} E\left(\lambda_{1}=-13\right)=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x-9 y+11 z=0 \text { e }-7 x+63 y-77 z=0\right\} \text { e } \\\ \qquad E\left(\lambda_{2}=10\right)=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x-7 y+6 z=0 \text { e }-5 x+36 y-8 z=0\right\} . \end{gathered}
Determine as multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores de T e bases para seus autoespaços. Confira se T é diagonalizável, Justificando a sua resposta.

Passo 1

O enunciado descreve um operador linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 com polinômio característico
p(\lambda)=(\lambda+13)^2(\lambda-10),
cujo autovalores são \lambda_1=-13 e \lambda_2=10. Os autoespaços dados são
E(-13)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\;x-9y+11z=0,\;-7x+63y-77z=0\},
E(10)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\;x-7y+6z=0,\;-5x+36y-8z=0\}.
Vamos encontrar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor, bases para esses autoespaços e verificar se T é diagonalizável.

Passo 2

A multiplicidade algébrica de cada autovalor vem dos expoentes em p(\lambda):
– Para \lambda_1=-13 temos m_a(-13)=2.
– Para \lambda_2=10 temos m_a(10)=1.

Passo 3

Para E(-13) as equações são
x-9y+11z=0, \quad -7x+63y-77z=0.
Mas note que a segunda é -7 vezes a primeira, logo há apenas uma condição independente. Da primeira vem
x=9y-11z.
Como temos dois graus de liberdade (em y e z), \dim E(-13)=2. Tomando parâmetros
– se y=1,z=0 então x=9 e obtemos (9,1,0),
– se y=0,z=1 então x=-11 e obtemos (-11,0,1).
Uma base de E(-13) é
\{(9,1,0),\,(-11,0,1)\},
portanto m_g(-13)=2.

Passo 4

Para E(10) as equações são
x-7y+6z=0, \quad -5x+36y-8z=0.
Da primeira obtemos x=7y-6z. Substituindo na segunda:
-5(7y-6z)+36y-8z=-35y+30z+36y-8z=y+22z=0 \;\Longrightarrow\; y=-22z.
Então x=7(-22z)-6z=-160z. Como sobra um parâmetro ( z), \dim E(10)=1. Para z=1 um gerador é (-160,-22,1), logo
E(10)=\operatorname{span}\{(-160,-22,1)\},
e m_g(10)=1.

Passo 5

Como em cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica ( 2=2 e 1=1) e m_g(-13)+m_g(10)=3=\dim\mathbb{R}^3, concluímos que T é diagonalizável.

Resposta

As multiplicidades algébricas são
\,m_a(-13)=2, m_a(10)=1.
As multiplicidades geométricas são
\,m_g(-13)=2, m_g(10)=1.
Bases dos autoespaços:
E(-13)=\operatorname{span}\{(9,1,0),\,(-11,0,1)\}, \quad E(10)=\operatorname{span}\{(-160,-22,1)\}.
Como m_g(\lambda)=m_a(\lambda) para todo autovalor, T é diagonalizável.

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