Questão 3 (2,0 pontos): Consideremos o operador linear
cujo polinômio característico é
com autoespaços
Determine as multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores de
e bases para seus autoespaços. Confira se
é diagonalizável, Justificando a sua resposta.
Passo 1
O enunciado descreve um operador linear
com polinômio característico
cujo autovalores são
e
. Os autoespaços dados são
Vamos encontrar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor, bases para esses autoespaços e verificar se
é diagonalizável.
Passo 2
A multiplicidade algébrica de cada autovalor vem dos expoentes em
:
– Para temos
.
– Para temos
.
– Para
– Para
Passo 3
Para
as equações são
Mas note que a segunda é
vezes a primeira, logo há apenas uma condição independente. Da primeira vem
Como temos dois graus de liberdade (em
e
),
. Tomando parâmetros
– se então
e obtemos
,
– se então
e obtemos
.
Uma base de é
– se
– se
Uma base de
portanto
.
Passo 4
Para
as equações são
Da primeira obtemos
. Substituindo na segunda:
Então
. Como sobra um parâmetro (
),
. Para
um gerador é
, logo
e
.
Passo 5
Como em cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica (
e
) e
, concluímos que
é diagonalizável.
Resposta
As multiplicidades algébricas são
,
.
As multiplicidades geométricas são
,
.
Bases dos autoespaços:
As multiplicidades geométricas são
Bases dos autoespaços:
Como
para todo autovalor,
é diagonalizável.