Questão 2 ( \mathbf{3 , 0} pontos)

a) (1,5) Utilizando a lei de Gauss mostre que o módulo do campo elétrico devido a um plano infinito (não condutor) carregado uniformemente é dado por:
E=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}},
em que \sigma é a densidade de carga por unidade de área.
b) (1,5) Considere dois planos infinitos, não condutores, paralelos entre si e carregados uniformemente. Um dos planos tem uma carga positiva por unidade de área \sigma_{1}=+\sigma e o outro plano tem uma densidade de carga por unidade área negativa \sigma_{2}=-\sigma. Determine o vetor campo elétrico em todo o espaço. Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) usar a lei de Gauss para mostrar que o módulo do campo criado por um plano infinito com densidade superficial de carga \sigma é
E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}},
e
b) encontrar o vetor campo elétrico no espaço todo gerado por duas folhas infinitas paralelas, uma com \sigma_{1}=+\sigma e outra com \sigma_{2}=-\sigma. Vamos aplicar Gauss em (a) e superpor os campos em (b).

Passo 2

Para (a), escolhemos uma superfície gaussiana em forma de cilindro (“pillbox”) de área de base A, com as bases paralelas ao plano carregado. Por simetria, o campo tem módulo constante \!E e é perpendicular ao plano, saindo para ambos os lados.
O fluxo total pela superfície é a soma dos fluxos pelas duas bases:
\Phi = E\cdot A + E\cdot A = 2EA.
A carga interna é Q_{\text{int}}=\sigma A. Pela lei de Gauss,
\Phi = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad 2EA = \frac{\sigma A}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}.

Passo 3

Em (b), cada folha isolada gera um campo de módulo \tfrac{|\sigma|}{2\varepsilon_{0}}, perpendicular e apontando para fora se \sigma>0 e para dentro se \sigma<0. Definimos o eixo x perpendicular às folhas, com a folha positiva em x=0 e a negativa em x=d. Usamos superposição vetorial.
Somando os campos das duas folhas em cada região:
\text{(i) }x<0:\; \vec E_1=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\hat x,\; \vec E_2=+\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\hat x \;\Longrightarrow\;\vec E=\vec0.
\text{(ii) }0<x<d:\; \vec E_1=+\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\hat x,\; \vec E_2=+\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\hat x \;\Longrightarrow\;\vec E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\hat x.
\text{(iii) }x>d:\; \vec E_1=+\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\hat x,\; \vec E_2=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\hat x \;\Longrightarrow\;\vec E=\vec0.

Resposta

(a) \displaystyle E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}.
(b) \vec E(x)= \begin{cases} \vec0, & x<0,\\\ \displaystyle\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\,\hat x, & 0<x<d,\\\ \vec0, & x>d. \end{cases}

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