Questão 1 ( \mathbf{4 , 0} pts): Considere dois anéis de carga localizados nos planos z= \pm z_{0}. Dado que os anéis têm uma densidade linear de carga uniforme, calcule o campo elétrico no ponto de coordenadas (0,0,0), se:
(c) (1,0) O raio dos dois anéis é igual r=r_{0} e a carga total do anel localizado em z=z_{0} é positiva e a carga total do anel localizado em z=-z_{0} é negativa.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico no ponto (0,0,0) devido a dois anéis de raio r_0 com densidade linear uniforme, um com carga total +Q no plano z=+z_0 e outro com carga total -Q no plano z=-z_0. O conteúdo principal é usar o resultado do campo no eixo de um anel com carga Q.

Passo 2

Lembrando que o campo elétrico no eixo de um anel de raio r e carga total Q, avaliado a uma distância z do centro do anel, é
E_z(z) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\, \frac{Q\,z}{\bigl(r^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}
apontando no sentido do vetor unitário \hat{z}.

Passo 3

Para o anel de carga +Q em z=+z_{0}, o ponto (0,0,0) está a uma distância z=-z_{0} do centro, logo
\mathbf{E}_{1} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Q\,(-z_{0})}{\bigl(r_{0}^{2}+z_{0}^{2}\bigr)^{3/2}}\;\hat{z} \;=\; -\frac{Q\,z_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}\,\bigl(r_{0}^{2}+z_{0}^{2}\bigr)^{3/2}}\;\hat{z}.

Passo 4

Para o anel de carga -Q em z=-z_{0}, o ponto (0,0,0) está a uma distância z=+z_{0} do centro, então
\mathbf{E}_{2} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{(-Q)\,(+z_{0})}{\bigl(r_{0}^{2}+z_{0}^{2}\bigr)^{3/2}}\;\hat{z} \;=\; -\frac{Q\,z_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}\,\bigl(r_{0}^{2}+z_{0}^{2}\bigr)^{3/2}}\;\hat{z}.

Passo 5

Pela superposição,
\mathbf{E} =\mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_{2} =-\frac{2\,Q\,z_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}\,\bigl(r_{0}^{2}+z_{0}^{2}\bigr)^{3/2}}\;\hat{z} =-\frac{Q\,z_{0}}{2\pi\varepsilon_{0}\,\bigl(r_{0}^{2}+z_{0}^{2}\bigr)^{3/2}}\;\hat{z}.

Resposta

\boxed{ \mathbf{E}(0,0,0) =-\frac{Q\,z_{0}}{2\pi\varepsilon_{0}\,\bigl(r_{0}^{2}+z_{0}^{2}\bigr)^{3/2}}\;\hat{z} }.

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