Questão 1 ( \mathbf{4 , 0} pts): Considere dois anéis de carga localizados nos planos z= \pm z_{0}. Dado que os anéis têm uma densidade linear de carga uniforme, calcule o campo elétrico no ponto de coordenadas (0,0,0), se:
(d) (0,5) O raio dos dois anéis é igual r=r_{0} e a carga total do anel localizado em z=z_{0} é negativa e a carga total do anel localizado em z=-z_{0} é positiva.

Passo 1

O enunciado trata de dois anéis de carga de raio r_{0}, um em z=+z_{0} com carga total Q_{1}<0 e outro em z=-z_{0} com carga total Q_{2}>0. Queremos o campo elétrico em (0,0,0). O conteúdo envolvido é o cálculo do campo no eixo de um anel circular de carga uniforme. Para isso, vamos usar a fórmula do campo ao longo do eixo de um anel de raio a e carga total Q.

Passo 2

Para um anel de raio a com carga total Q e densidade linear uniforme, o campo elétrico no ponto do eixo a uma distância z do plano do anel aponta na direção do eixo e tem módulo dado por
E_{z}(z) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \;\frac{Q\,z}{\bigl(a^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 3

Calculemos o campo devido ao anel em z=+z_{0}. Nesse caso a distância do centro do anel até a origem é z=-z_{0}. Como Q_{1}<0, temos
E_{1} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \;\frac{Q_{1}\,(-z_{0})}{\bigl(r_{0}^{2}+z_{0}^{2}\bigr)^{3/2}} =-\frac{Q_{1}\,z_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}\,(r_{0}^{2}+z_{0}^{2})^{3/2}}.
O sinal negativo aqui indica que, sendo Q_{1}<0, o campo resultante aponta no sentido +\hat{z}.

Passo 4

Para o anel em z=-z_{0} com Q_{2}>0, a distância até a origem é z=+z_{0}. Logo
E_{2} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \;\frac{Q_{2}\,z_{0}}{\bigl(r_{0}^{2}+z_{0}^{2}\bigr)^{3/2}}.
Como Q_{2}>0, esse campo também aponta em +\hat{z}.

Passo 5

Somando as contribuições (ambas ao longo de +\hat{z}):
E_{z} =E_{1}+E_{2} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \;\frac{-Q_{1}\,z_{0}+Q_{2}\,z_{0}}{(r_{0}^{2}+z_{0}^{2})^{3/2}}.
Como Q_{1}=-Q e Q_{2}=+Q têm mesmo módulo Q, fica
E_{z} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \;\frac{2Q\,z_{0}}{(r_{0}^{2}+z_{0}^{2})^{3/2}}.

Passo 6

Expressando o vetor campo, obtemos
\mathbf{E}(0,0,0) =\hat{z}\, \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \;\frac{2Q\,z_{0}}{\bigl(r_{0}^{2}+z_{0}^{2}\bigr)^{3/2}}.

Resposta

\mathbf{E}(0,0,0) =\hat{z}\, \frac{2Q\,z_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}\,(r_{0}^{2}+z_{0}^{2})^{3/2}}.

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