O vetor posição r de uma partícula em relação a um certo ponto tem um módulo de 3,0 \mathrm{~m} e a força aplicada à partícula tem um módulo de 4,0 \mathrm{~N}.
Qual é o ângulo entre r e F se o módulo do torque associado é igual a (a) zero e (b) 12 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} ?
(a) Zero { }^{\circ} ou 180^{\circ}; (b) 45^{\circ}
(a) Zero { }^{\circ} ou 180^{\circ}; (b) 90^{\circ}
(a) 45^{\circ}; (b) 90^{\circ}
(a) 90^{\circ}; (b) Zero { }^{\circ} ou 180^{\circ}
(a) 90^{\circ}; (b) 45^{\circ}

Passo 1

O enunciado diz que o vetor posição \mathbf{r} tem módulo 3{,}0,m, a força \mathbf{F} tem módulo 4{,}0,N, e pede o ângulo \theta entre \mathbf{r} e \mathbf{F} quando o módulo do torque \tau vale (a) zero e (b) 12\,N\cdot m. O conteúdo aqui é o cálculo do módulo do torque via produto vetorial.

Passo 2

Lembrando que o módulo do torque é dado por
\tau = r\,F\,\sin\theta,
onde r=|\mathbf{r}|, F=|\mathbf{F}| e \theta é o ângulo entre \mathbf{r} e \mathbf{F}.

Passo 3

Para \tau=0 basta ter \sin\theta=0. Logo
\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \theta = 0^\circ\;\text{ou}\;180^\circ.

Passo 4

Para \tau=12 N\cdot m substituímos na fórmula:
12 = (3)(4)\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta = \frac{12}{12} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \theta = 90^\circ.

Passo 5

Comparando com as alternativas, a que corresponde a
(a)\;0^\circ\;\text{ou}\;180^\circ,\quad (b)\;90^\circ
é a segunda.

Resposta

(a) 0^\circ ou 180^\circ; (b) 90^\circ

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