Questão 3 [ 0,5 \mathrm{pt} ]

No laboratório de mecánica, o prof. Joaquim deixou cair uma bola de metal e mediu a velocidade de queda em dois pontos da trajetória. No primeiro ponto, a velocidade medida foi 1,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. No segundo ponto, a velocidade medida foi 4,43 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule a distância entre os pontos. Despreze a resistência do ar e use g= 9,80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância entre dois pontos da trajetória de queda de uma bola, sabendo que a velocidade medida no primeiro ponto foi \,1{,}00\\ \mathrm{m/s}\, e no segundo ponto foi \,4{,}43\\ \mathrm{m/s}\,. Despreze a resistência do ar e use \,g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}\,. Dados importantes fornecidos:
v_1 = 1{,}00\\ \mathrm{m/s},\qquad v_2 = 4{,}43\\ \mathrm{m/s},\qquad g = 9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}.
A pergunta clara: “Qual é a distância vertical \Delta x entre os dois pontos?”

Passo 2

Escolha do método: como a aceleração da gravidade é constante e não precisamos do tempo, o jeito mais direto é usar uma relação cinemática que liga velocidades e deslocamento sem envolver o tempo. Essa relação é muito usada em provas porque é rápida e evita calcular o tempo de queda.

Passo 3

Derivação didática da fórmula que vamos usar. Começamos com as equações do movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA):
v = v_0 + a t
\Delta x = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2
Aqui: \,v_0 é a velocidade inicial, \,v é a velocidade final, \,a é a aceleração (constante) e \,t é o tempo decorrido. Eliminamos t para obter uma fórmula sem tempo. Da primeira equação isolamos t:
t = \frac{v - v_0}{a}.
Substituímos em \Delta x:
\Delta x = v_0\left(\frac{v - v_0}{a}\right) + \tfrac{1}{2} a \left(\frac{v - v_0}{a}\right)^2.
Agora organizamos os termos (mostro passo a passo):
\Delta x = \frac{v_0(v - v_0)}{a} + \frac{1}{2a}(v - v_0)^2.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 2a:
\Delta x = \frac{2v_0(v - v_0) + (v - v_0)^2}{2a}.
Fatorando (v - v_0):
\Delta x = \frac{(v - v_0)\big(2v_0 + (v - v_0)\big)}{2a} = \frac{(v - v_0)(v + v_0)}{2a}.
Multiplicando os fatores obtemos a forma clássica:
\Delta x = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}.
Essa é a fórmula que liga as velocidades ao deslocamento sem precisar do tempo.

Passo 4

Aplicando à queda: aqui a velocidade aumenta no sentido da gravidade, então podemos usar a aceleração com valor positivo a=g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}. Identificando:
v_0 = v_1 = 1{,}00\\ \mathrm{m/s},\qquad v = v_2 = 4{,}43\\ \mathrm{m/s},\qquad a = g = 9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}.
Usamos a fórmula
\Delta x = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo:
v^2 = (4{,}43)^2 = 19{,}6249\quad\text{(peguei o valor de \(4{,}43\) do enunciado)},
v_0^2 = (1{,}00)^2 = 1{,}0000.
Diferença:
v^2 - v_0^2 = 19{,}6249 - 1{,}0000 = 18{,}6249.
Denominador:
2a = 2\cdot 9{,}80 = 19{,}60.
Dividindo:
\Delta x = \frac{18{,}6249}{19{,}60} \approx 0{,}950254\\ \mathrm{m}.
Arredondando com três algarismos significativos (os dados de velocidade têm três algarismos significativos), obtemos \Delta x \approx 0{,}950\\ \mathrm{m}.

Resposta

0,950 m

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