Uma tensão ca de 110 V num resistor de 25 ohms. Calcular Valor médio de tensão? Valor de tensão pico a pico? Valor de pico da tensão? O valor médio da corrente e Potência em cima da carga?

Passo 1

O enunciado dá uma tensão alternada aplicada a um resistor e pede várias quantidades. Dados e pedidos (listados claramente):
  • Dado: a tensão alternada vale \,110\\ \text{V} aplicada a um resistor de \,25\\ \Omega.
  • Perguntas:
    1. Qual o valor médio da tensão?
    2. Qual a tensão pico a pico?
    3. Qual o valor de pico da tensão?
    4. Qual o valor médio da corrente?
    5. Qual a potência sobre a carga?
Observação: vou entender que a tensão indicada \,110\\ \text{V} é o valor eficaz (valor RMS) da tensão senoidal, que é a convenção usual em problemas de tensão de rede. Se fosse outro tipo de valor (por exemplo amplitude), os resultados mudariam, mas aqui trabalho com a hipótese razoável de que é \,V_{\text{rms}}=110\\ \text{V}.

Passo 2

Conceitos essenciais que vamos usar (explicados passo a passo, bem devagar):
  • Definição de valor eficaz (RMS). Para uma tensão senoidal v(t)=V_m\sin(\omega t) o valor eficaz é
V_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}v^2(t)\,dt}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}.
Aqui V_m é a amplitude (valor de pico), T é o período e \omega a pulsação. A relação V_{\text{rms}}=V_m/\sqrt{2} vem do fato que \frac{1}{T}\int_0^T\sin^2(\omega t)\,dt=1/2.
  • Relação entre pico e pico e pico: o pico a pico é duas vezes a amplitude:
V_{pp}=2V_m.
  • Média de uma senóide em um período inteiro: a função \sin(\omega t) tem média zero em um ciclo completo, portanto a média da tensão senoidal é zero:
\overline{v(t)}=0.
(Se você quisesse a média do valor absoluto (tensão retificada), seria outra fórmula; aqui usamos a média direta.)
  • Lei de Ohm para corrente instantânea em resistor:
i(t)=\frac{v(t)}{R}=\frac{V_m}{R}\sin(\omega t).
Daí a corrente RMS é I_{\text{rms}}=V_{\text{rms}}/R e a amplitude de corrente I_m=V_m/R.
  • Potência média dissipada em resistor: usando p(t)=v(t)i(t)=\frac{v^2(t)}{R} e fazendo média no período,
P_{\text{média}}=\frac{V_m^2}{2R}= \frac{V_{\text{rms}}^2}{R}=V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}.é
Isso usa \overline{\sin^2(\omega t)}=1/2.

Passo 3

Calcular a tensão de pico V_m a partir de V_{\text{rms}}=110\\ \text{V}.
Usamos a relação V_{\text{rms}}=V_m/\sqrt{2}. Logo
V_m = V_{\text{rms}}\sqrt{2}.
Substituindo o valor dado:
V_m = 110\sqrt{2}\\ \text{V}.
Agora calculamos numericamente. Como \sqrt{2}\approx 1,41421356,
V_m \approx 110\times 1,41421356 \approx 155,56\\ \text{V}.

Passo 4

Calcular a tensão pico a pico V_{pp}.
Pela definição V_{pp}=2V_m. Logo
V_{pp}=2\times 155,56\\ \text{V}\approx 311,13\\ \text{V}.

Passo 5

Calcular o valor médio da tensão.
Para uma senóide perfeita a média ao longo de um período é zero:
\overline{v(t)}=0\\ \text{V}.
(Atenção: se o enunciado pedisse a média da tensão retificada, usaríamos \overline{|v(t)|}=\tfrac{2V_m}{\pi}, mas aqui a pergunta foi “valor médio da tensão” e a resposta padrão é zero.)

Passo 6

Calcular a corrente (RMS e pico) e o valor médio da corrente.
  • Corrente RMS:
I_{\text{rms}}=\frac{V_{\text{rms}}}{R}=\frac{110}{25}\\ \text{A}=4,4\\ \text{A}.
  • Corrente de pico:
I_m=\frac{V_m}{R}=\frac{155,56}{25}\\ \text{A}\approx 6,22\\ \text{A}.
  • Valor médio da corrente (média em um período da senóide): como a corrente é proporcional a \sin(\omega t), sua média é zero:
\overline{i(t)}=0\\ \text{A}.

Passo 7

Calcular a potência média dissipada no resistor.
Usamos a fórmula para resistor em regime senoidal:
P=\frac{V_{\text{rms}}^2}{R}.
Substituindo os valores:
P=\frac{110^2}{25}\\ \text{W}=\frac{12\,100}{25}\\ \text{W}=484\\ \text{W}.
Também podemos verificar usando P=V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}=110\times 4,4=484\\ \text{W}. Ambas concordam.

Resposta

\overline{v(t)}=0\\ \text{V}
\;V_{pp}=311,13\\ \text{V}
\;V_{m}=155,56\\ \text{V}
\overline{i(t)}=0\\ \text{A}
\;P=484\\ \text{W}

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