Questão 1.
( 1,0 \mathrm{pt} ) Enuncie, precisamente, o Teorema de Picard.

Passo 1

O enunciado pede para a gente recordar o Teorema de Picard–Lindelöf, que é o resultado fundamental de existência e unicidade de soluções de um problema de valor inicial para equações diferenciais ordinárias (EDO).

Passo 2

Primeiro identificamos o problema de valor inicial
y' = f(x,y),\quad y(x_{0})=y_{0},
onde escolhemos um retângulo
D = [\,x_{0}-a,\;x_{0}+a\,]\times[\,y_{0}-b,\;y_{0}+b\,]\subset\mathbb{R}^{2}
que contém (x_{0},y_{0}). Para aplicar o teorema, exigimos que
  1. f:D\to\mathbb{R} seja contínua em D,
  2. f satisfaça uma condição de Lipschitz em y: existe L>0 tal que, para todo (x,y_{1}), (x,y_{2})\in D,
\bigl|f(x,y_{1}) - f(x,y_{2})\bigr| \;\le\; L\,\bigl|y_{1}-y_{2}\bigr|.

Passo 3

Com essas hipóteses, usamos o método de iterações de Picard ( solução da forma de uma equação integral) para mostrar que existe um número
h = \min\Bigl\{a,\;\frac{b}{M}\Bigr\},\quad M = \max_{(x,y)\in D}\bigl|f(x,y)\bigr|,
tal que no intervalo
I = [\,x_{0}-h,\;x_{0}+h\,]
existe pelo menos uma solução de classe C^{1} e, ao mesmo tempo, qualquer outra solução que satisfaça o mesmo problema de valor inicial coincide com essa (unicidade).

Resposta

Sejam x_{0}\in\mathbb{R}, y_{0}\in\mathbb{R} e o retângulo
D = [\,x_{0}-a,\;x_{0}+a\,]\times[\,y_{0}-b,\;y_{0}+b\,]\subset\mathbb{R}^{2}.
Suponha que
  1. f:D\to\mathbb{R} seja contínua em D,
  2. exista L>0 tal que, para todo (x,y_{1}), (x,y_{2})\in D,
\bigl|f(x,y_{1}) - f(x,y_{2})\bigr| \;\le\; L\,\bigl|y_{1}-y_{2}\bigr|.
Defina
M = \max_{(x,y)\in D}\bigl|f(x,y)\bigr| \quad\text{e}\quad h = \min\!\Bigl\{a,\;\frac{b}{M}\Bigr\}.
Então existe uma única função y:I\to\mathbb{R} de classe C^{1} em
I = [\,x_{0}-h,\;x_{0}+h\,]
que resolve o problema de valor inicial
y' = f(x,y),\quad y(x_{0})=y_{0}.
Esse é o Teorema de Picard–Lindelöf (ou Teorema de Picard).

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