Questão 2. O Método Iterativo Linear (M.I.L.) é um método de ponto fixo que produz uma sequência convergente para o valor da solução da equação f(x)=0 no intervalo [a, b], utilizando uma função de iteração do tipo x_{k+1}=\varphi\left(x_{k}\right), somente se \left|\varphi^{\prime}(x)\right| \leq \mathrm{L}<1 para todo x \in[a, b]
Considere a função f(x)=4 x-\operatorname{sen}(2 x).
a) (Valor 2,0) Verifique que \varphi(x)=\frac{1}{4} \operatorname{sen}(2 x) pode ser utilizada como função de ponto fixo no intervalo [0,1].
b) (Valor 1,0) Apresente as 3 primeiras iterações do M.I.L. para determinar o valor aproximado da raiz de f(x) com x_{0}=0.5 (utilize arredondamento com 3 casas decimais.)
Passo 1
O enunciado fornece:
A função f(x)=4x-\operatorname{sen}(2x).
A candidata a função de iteração \varphi(x)=\dfrac{1}{4}\operatorname{sen}(2x).
O intervalo [0,1].
O chute inicial x_{0}=0,5 para as iterações.
O que é pedido:
(a) Verificar que \varphi(x) pode ser usada como função de ponto fixo no intervalo [0,1] (ou seja: mostrar que \varphi leva [0,1] em si e que |\varphi'(x)|\le L<1 em [0,1]).
(b) Aplicar o Método Iterativo Linear (M.I.L.) com x_{0}=0,5 e apresentar as 3 primeiras iterações, usando arredondamento com 3 casas decimais.
Passo 2
Primeiro, convém ver que um ponto fixo de \varphi é de fato raiz de f. Se x é ponto fixo então
ou seja, f(x)=0. Logo, qualquer ponto fixo de \varphi corresponde a uma raiz de f.
Passo 3
Agora vamos verificar que \varphi mapeia [0,1] em [0,1]. Para x\in[0,1] temos 2x\in[0,2]. Note que 2\in(0,\pi), portanto \operatorname{sen}(2x)\ge 0 nesse intervalo e, em geral,
Como \left|\cos(2x)\right|\le 1 para todo x, temos
\left|\varphi'(x)\right|\le \frac{1}{2}\quad\text{para todo }x\in[0,1].
Logo podemos escolher L=\tfrac{1}{2}<1. Isso satisfaz a condição do M.I.L. (condição de contração).
Passo 5
Pelo que vimos:
\varphi([0,1])\subseteq[0,1];
\left|\varphi'(x)\right|\le \tfrac{1}{2}<1 em [0,1].
Portanto \varphi é uma contração em [0,1] e pode ser usada como função de ponto fixo: a iteração x_{k+1}=\varphi(x_k) converge a única raiz de f em [0,1].
Instrução de arredondamento: após calcular cada x_{k+1} utilizaremos arredondamento para 3 casas decimais (modo usual: se a quarta casa ≥5, arredonda para cima).
Passo 7
Cálculo de x_{1} a partir de x_{0}=0,5:
Calcule 2x_{0}=1,0.
\operatorname{sen}(1,0)\approx 0,8414709848.
\dfrac{1}{4}\operatorname{sen}(1,0)\approx 0,2103677462.
Arredondando para 3 casas decimais obtemos
x_{1}=0,210.
Passo 8
Cálculo de x_{2} a partir de x_{1}=0,210:
Calcule 2x_{1}=0,420.
\operatorname{sen}(0,420)\approx 0,4077602934.
\dfrac{1}{4}\operatorname{sen}(0,420)\approx 0,1019400734.
Arredondando para 3 casas decimais obtemos
x_{2}=0,102.
Passo 9
Cálculo de x_{3} a partir de x_{2}=0,102:
Calcule 2x_{2}=0,204.
\operatorname{sen}(0,204)\approx 0,2026840166.
\dfrac{1}{4}\operatorname{sen}(0,204)\approx 0,0506710042.
Arredondando para 3 casas decimais obtemos
x_{3}=0,051.
Resposta
a) Sim — \varphi([0,1])\subseteq[0,1] e \left|\varphi'(x)\right|\le \tfrac{1}{2}<1 para todo x\in[0,1], portanto \varphi pode ser usada como função de ponto fixo no intervalo [0,1].\n
b) x_{1}=0,210\n x_{2}=0,102\n