Questão 2. O Método Iterativo Linear (M.I.L.) é um método de ponto fixo que produz uma sequência convergente para o valor da solução da equação f(x)=0 no intervalo [a, b], utilizando uma função de iteração do tipo x_{k+1}=\varphi\left(x_{k}\right), somente se \left|\varphi^{\prime}(x)\right| \leq \mathrm{L}<1 para todo x \in[a, b]
Considere a função f(x)=4 x-\operatorname{sen}(2 x).
a) (Valor 2,0 ) Verifique que \varphi(x)=\frac{1}{4} \operatorname{sen}(2 x) pode ser utilizada como função de ponto fixo no intervalo [0,1].
b) (Valor 1,0) Apresente as 3 primeiras iterações do M.I.L. para determinar o valor aproximado da raiz de f(x) com x_{0}=0.5 (utilize arredondamento com 3 casas decimais.)

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A função f(x)=4x-\operatorname{sen}(2x).
  • A candidata a função de iteração \varphi(x)=\dfrac{1}{4}\operatorname{sen}(2x).
  • O intervalo [0,1].
  • O chute inicial x_{0}=0,5 para as iterações.
    O que é pedido:
  • (a) Verificar que \varphi(x) pode ser usada como função de ponto fixo no intervalo [0,1] (ou seja: mostrar que \varphi leva [0,1] em si e que |\varphi'(x)|\le L<1 em [0,1]).
  • (b) Aplicar o Método Iterativo Linear (M.I.L.) com x_{0}=0,5 e apresentar as 3 primeiras iterações, usando arredondamento com 3 casas decimais.

Passo 2

Primeiro, convém ver que um ponto fixo de \varphi é de fato raiz de f. Se x é ponto fixo então
x=\varphi(x)=\frac{1}{4}\operatorname{sen}(2x).
Multiplicando por 4 obtemos
4x=\operatorname{sen}(2x)\quad\Longrightarrow\quad 4x-\operatorname{sen}(2x)=0,
ou seja, f(x)=0. Logo, qualquer ponto fixo de \varphi corresponde a uma raiz de f.

Passo 3

Agora vamos verificar que \varphi mapeia [0,1] em [0,1]. Para x\in[0,1] temos 2x\in[0,2]. Note que 2\in(0,\pi), portanto \operatorname{sen}(2x)\ge 0 nesse intervalo e, em geral,
0\le \operatorname{sen}(2x)\le 1.
Dividindo por 4 obtemos
0\le \varphi(x)=\frac{1}{4}\operatorname{sen}(2x)\le \frac{1}{4}.
Como \frac{1}{4}\le 1, concluímos que \varphi(x)\in[0,1] para todo x\in[0,1]. Ou seja, \varphi realmente leva [0,1] em si.

Passo 4

Agora precisamos da condição sobre a derivada. Calculemos \varphi'(x):
\varphi'(x)=\frac{1}{4}\cdot \frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(2x)\big)=\frac{1}{4}\cdot 2\cos(2x)=\frac{1}{2}\cos(2x).
Tomando valor absoluto,
\left|\varphi'(x)\right|=\frac{1}{2}\left|\cos(2x)\right|.
Como \left|\cos(2x)\right|\le 1 para todo x, temos
\left|\varphi'(x)\right|\le \frac{1}{2}\quad\text{para todo }x\in[0,1].
Logo podemos escolher L=\tfrac{1}{2}<1. Isso satisfaz a condição do M.I.L. (condição de contração).

Passo 5

Pelo que vimos:
  • \varphi([0,1])\subseteq[0,1];
  • \left|\varphi'(x)\right|\le \tfrac{1}{2}<1 em [0,1].
    Portanto \varphi é uma contração em [0,1] e pode ser usada como função de ponto fixo: a iteração x_{k+1}=\varphi(x_k) converge a única raiz de f em [0,1].

Passo 6

Vamos aplicar o M.I.L. com a fórmula de iteração
x_{k+1}=\varphi(x_k)=\frac{1}{4}\operatorname{sen}(2x_k).
Instrução de arredondamento: após calcular cada x_{k+1} utilizaremos arredondamento para 3 casas decimais (modo usual: se a quarta casa ≥5, arredonda para cima).

Passo 7

Cálculo de x_{1} a partir de x_{0}=0,5:
  • Calcule 2x_{0}=1,0.
  • \operatorname{sen}(1,0)\approx 0,8414709848.
  • \dfrac{1}{4}\operatorname{sen}(1,0)\approx 0,2103677462.
    Arredondando para 3 casas decimais obtemos
x_{1}=0,210.

Passo 8

Cálculo de x_{2} a partir de x_{1}=0,210:
  • Calcule 2x_{1}=0,420.
  • \operatorname{sen}(0,420)\approx 0,4077602934.
  • \dfrac{1}{4}\operatorname{sen}(0,420)\approx 0,1019400734.
    Arredondando para 3 casas decimais obtemos
x_{2}=0,102.

Passo 9

Cálculo de x_{3} a partir de x_{2}=0,102:
  • Calcule 2x_{2}=0,204.
  • \operatorname{sen}(0,204)\approx 0,2026840166.
  • \dfrac{1}{4}\operatorname{sen}(0,204)\approx 0,0506710042.
    Arredondando para 3 casas decimais obtemos
x_{3}=0,051.

Resposta

a) Sim — \varphi([0,1])\subseteq[0,1] e \left|\varphi'(x)\right|\le \tfrac{1}{2}<1 para todo x\in[0,1], portanto \varphi pode ser usada como função de ponto fixo no intervalo [0,1].\n
b) x_{1}=0,210\n
x_{2}=0,102\n
x_{3}=0,051

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