Determine soluções aproximadas para as equações do Exercício 1 utilizando o método da bisseção, com a precisão
indicada abaixo para cada item.
Passo 1
Você pediu: “Determine soluções aproximadas para as equações do Exercício 1 utilizando o método da bisseção, com a precisão
.”
Informações que eu tenho do enunciado: .
Informações que faltam (necessárias para calcular as raízes): as equações (as funções cujas raízes devemos encontrar) e, se aplicável, os intervalos iniciais
ou condições que permitam escolher esses intervalos. Sem essas informações não é possível calcular as soluções pedidas.
Informações que eu tenho do enunciado:
Informações que faltam (necessárias para calcular as raízes): as equações (as funções
Passo 2
Por que não posso prosseguir diretamente para calcular as raízes reais do “Exercício 1”?
- O método da bisseção precisa de uma função
explícita e de um intervalo inicial tal que seja contínua em e (ou outra informação equivalente que garanta existência de raiz no intervalo). - Como você não enviou as equações nem os intervalos, não há como aplicar numericamente o método e dar aproximações numéricas. Inventar uma equação seria enganar você — então não faço isso.
Passo 3
O que é o método da bisseção (a ideia principal) — explicação didática e sem pular etapas:
- Suponha que temos uma função
contínua em um intervalo e que e têm sinais opostos, isto é, . Pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz tal que . - A bisseção explora isso assim: calculamos o ponto médio
- Se
então encontramos a raiz. - Se
, verificamos o sinal de . Se , a raiz está em ; caso contrário (isto é, se ) a raiz está em .
- Se
- Repetimos esse procedimento, reduzindo o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração, até que o intervalo seja pequeno o suficiente para garantir a precisão desejada.
Passo 4
Critério de parada e controle do erro (como usar
):
- Seja
o comprimento do intervalo inicial. Depois de iterações o comprimento do intervalo é - Em qualquer etapa a raiz
está dentro do intervalo atual de comprimento ; o erro máximo ao tomar o ponto médio do intervalo como aproximação é no máximo metade desse comprimento, isto é, - Se queremos que o erro seja menor ou igual a
, basta garantir que - Daí podemos estimar o número mínimo de iterações necessárias:
Uma fórmula prática equivalente é onde é arredondamento para cima. Após esse número de iterações, o ponto médio do último intervalo tem erro .
Passo 5
Algoritmo passo a passo que você pode aplicar na prova (versão “mastigada”):
- Escolha um intervalo inicial
em que seja contínua e tal que . Se não houver sinal trocado, procure outro intervalo. - Calcule
. - Calcule
. - Se
(ou for menor que uma tolerância numérica que você julgar apropriada), pare: é raiz exata/boa aproximação. - Se
, substitua . Caso contrário, substitua . - Verifique se
. Se sim, pare e use como aproximação. Se não, volte ao passo 2.
Observação prática: nas contas de prova mantenha frações/racionais quando possível; se tiver de usar decimais, mostre cada passo (ainda que approximado).
Passo 6
Exemplo completo e numérico (ilustrativo) usando uma função simples — faço isso para você ver o método em ação com
:
Vou demonstrar com a função . Esta é apenas um exemplo didático, não é o enunciado do seu Exercício 1.
Vou demonstrar com a função
- Escolhemos
porque e , logo . - Comprimento inicial
. Usando a fórmula do passo anterior, podemos calcular o número mínimo de iterações: Logo com iterações o erro do ponto médio será . Agora as iterações: - Iteração 1:
. . Sinal positivo, então a raiz está em . - Iteração 2:
. . Sinal negativo, então a raiz está em . - Iteração 3:
. . Sinal negativo, então a raiz está em . - Iteração 4:
. . Sinal positivo, então a raiz está em .
- Iteração 1:
- Depois de 4 iterações o intervalo final é
com comprimento . O ponto médio da etapa final é . O erro máximo garantido é . Assim, a aproximação por bisseção com é . - Isto mostra exatamente como proceder na prova: escolha
com troca de sinais, aplique as iterações e pare quando .
Passo 7
Resumo do que você deve fazer agora (prático e motivador):
- Envie (ou olhe no seu enunciado) as equações do Exercício 1 e, se houver, os intervalos iniciais sugeridos.
- Se não houver intervalos fornecidos, procure entre possíveis intervalos (por exemplo testes rápidos em pontos inteiros) onde
muda de sinal. - Aplique o algoritmo acima até
. Mostre as iterações na prova como no exemplo. Você consegue — é só seguir o passo a passo.
Resposta
Não é possível determinar as soluções porque o enunciado do Exercício 1 (as equações e/ou os intervalos iniciais) não foi fornecido.