Determine soluções aproximadas para as equações do Exercício 1 utilizando o método da bisseção, com a precisão \varepsilon indicada abaixo para cada item.
\varepsilon=0.045

Passo 1

Você pediu: “Determine soluções aproximadas para as equações do Exercício 1 utilizando o método da bisseção, com a precisão \varepsilon=0,045.”
Informações que eu tenho do enunciado: \varepsilon=0,045.
Informações que faltam (necessárias para calcular as raízes): as equações (as funções f(x) cujas raízes devemos encontrar) e, se aplicável, os intervalos iniciais [a,b] ou condições que permitam escolher esses intervalos. Sem essas informações não é possível calcular as soluções pedidas.

Passo 2

Por que não posso prosseguir diretamente para calcular as raízes reais do “Exercício 1”?
  • O método da bisseção precisa de uma função f explícita e de um intervalo inicial [a,b] tal que f seja contínua em [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0 (ou outra informação equivalente que garanta existência de raiz no intervalo).
  • Como você não enviou as equações nem os intervalos, não há como aplicar numericamente o método e dar aproximações numéricas. Inventar uma equação seria enganar você — então não faço isso.

Passo 3

O que é o método da bisseção (a ideia principal) — explicação didática e sem pular etapas:
  • Suponha que temos uma função f contínua em um intervalo [a,b] e que f(a) e f(b) têm sinais opostos, isto é, f(a)\cdot f(b)<0. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz \xi\in(a,b) tal que f(\xi)=0.
  • A bisseção explora isso assim: calculamos o ponto médio m=\frac{a+b}{2}.
    • Se f(m)=0 então encontramos a raiz.
    • Se f(m)\neq0, verificamos o sinal de f(m). Se f(a)\cdot f(m)<0, a raiz está em [a,m]; caso contrário (isto é, se f(m)\cdot f(b)<0) a raiz está em [m,b].
  • Repetimos esse procedimento, reduzindo o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração, até que o intervalo seja pequeno o suficiente para garantir a precisão desejada.

Passo 4

Critério de parada e controle do erro (como usar \varepsilon):
  • Seja L_0=b-a o comprimento do intervalo inicial. Depois de n iterações o comprimento do intervalo é L_n=\frac{L_0}{2^n}.
  • Em qualquer etapa a raiz \xi está dentro do intervalo atual de comprimento L_n; o erro máximo ao tomar o ponto médio do intervalo como aproximação é no máximo metade desse comprimento, isto é, \text{erro} \le \frac{L_n}{2}=\frac{L_0}{2^{n+1}}.
  • Se queremos que o erro seja menor ou igual a \varepsilon, basta garantir que \frac{L_0}{2^{n+1}}\le \varepsilon.
  • Daí podemos estimar o número mínimo de iterações necessárias: n \ge \log_2\!\left(\frac{L_0}{\varepsilon}\right)-1.Uma fórmula prática equivalente é n = \left\lceil \log_2\!\left(\frac{L_0}{2\varepsilon}\right)\right\rceil,onde \lceil\cdot\rceil é arredondamento para cima. Após esse número de iterações, o ponto médio do último intervalo tem erro \le\varepsilon.

Passo 5

Algoritmo passo a passo que você pode aplicar na prova (versão “mastigada”):
  1. Escolha um intervalo inicial [a,b] em que f seja contínua e tal que f(a)\cdot f(b)<0. Se não houver sinal trocado, procure outro intervalo.
  2. Calcule m=\dfrac{a+b}{2}.
  3. Calcule f(m).
  4. Se f(m)=0 (ou |f(m)| for menor que uma tolerância numérica que você julgar apropriada), pare: m é raiz exata/boa aproximação.
  5. Se f(a)\cdot f(m)<0, substitua b\leftarrow m. Caso contrário, substitua a\leftarrow m.
  6. Verifique se \dfrac{b-a}{2}\le\varepsilon. Se sim, pare e use \dfrac{a+b}{2} como aproximação. Se não, volte ao passo 2.
    Observação prática: nas contas de prova mantenha frações/racionais quando possível; se tiver de usar decimais, mostre cada passo (ainda que approximado).

Passo 6

Exemplo completo e numérico (ilustrativo) usando uma função simples — faço isso para você ver o método em ação com \varepsilon=0,045:
Vou demonstrar com a função f(x)=x^{2}-2. Esta é apenas um exemplo didático, não é o enunciado do seu Exercício 1.
  • Escolhemos [a,b]=[1,2] porque f(1)=1-2=-1 e f(2)=4-2=2, logo f(1)\cdot f(2)<0.
  • Comprimento inicial L_0=1. Usando a fórmula do passo anterior, podemos calcular o número mínimo de iterações: n=\left\lceil \log_2\!\left(\frac{L_0}{2\varepsilon}\right)\right\rceil=\left\lceil \log_2\!\left(\frac{1}{2\cdot0,045}\right)\right\rceil=\left\lceil \log_2(11{,}111\ldots)\right\rceil=4.Logo com 4 iterações o erro do ponto médio será \le 0,045. Agora as iterações:
    1. Iteração 1: m_1=\dfrac{1+2}{2}=1{,}5. f(1{,}5)=1{,}5^{2}-2=2{,}25-2=0{,}25>0. Sinal positivo, então a raiz está em [1,1{,}5].
    2. Iteração 2: m_2=\dfrac{1+1{,}5}{2}=1{,}25. f(1{,}25)=1{,}5625-2=-0{,}4375<0. Sinal negativo, então a raiz está em [1{,}25,1{,}5].
    3. Iteração 3: m_3=\dfrac{1{,}25+1{,}5}{2}=1{,}375. f(1{,}375)=1{,}890625-2=-0{,}109375<0. Sinal negativo, então a raiz está em [1{,}375,1{,}5].
    4. Iteração 4: m_4=\dfrac{1{,}375+1{,}5}{2}=1{,}4375. f(1{,}4375)=2{,}06640625-2=0{,}06640625>0. Sinal positivo, então a raiz está em [1{,}375,1{,}4375].
  • Depois de 4 iterações o intervalo final é [1{,}375,1{,}4375] com comprimento L_4=\dfrac{1}{16}=0{,}0625. O ponto médio da etapa final é \dfrac{1{,}375+1{,}4375}{2}=1{,}40625. O erro máximo garantido é \dfrac{L_4}{2}=0{,}03125\le 0{,}045. Assim, a aproximação por bisseção com \varepsilon=0{,}045 é x\approx 1{,}40625.
  • Isto mostra exatamente como proceder na prova: escolha [a,b] com troca de sinais, aplique as iterações e pare quando \dfrac{b-a}{2}\le\varepsilon.

Passo 7

Resumo do que você deve fazer agora (prático e motivador):
  • Envie (ou olhe no seu enunciado) as equações do Exercício 1 e, se houver, os intervalos iniciais sugeridos.
  • Se não houver intervalos fornecidos, procure entre possíveis intervalos (por exemplo testes rápidos em pontos inteiros) onde f muda de sinal.
  • Aplique o algoritmo acima até \dfrac{b-a}{2}\le 0{,}045. Mostre as iterações na prova como no exemplo. Você consegue — é só seguir o passo a passo.

Resposta

Não é possível determinar as soluções porque o enunciado do Exercício 1 (as equações e/ou os intervalos iniciais) não foi fornecido.

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