Resolva os sistemas abaixo:
\{\begin{array}{l}2 y^{\prime}-x^{\prime}=x+3 y+e^{t} \\\\ 3 x^{\prime}-4 y^{\prime}=x-15 y+e^{-t}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações diferenciais lineares de 1ª ordem com coeficientes constantes e termos forçantes exponenciais:
\begin{cases} 2\,y' - x' = x + 3y + e^t,\\\\ 3\,x' - 4\,y' = x - 15y + e^{-t}. \end{cases}
O conteúdo aqui é reconhecer que podemos escrever esse sistema na forma matricial e, em seguida, inverter o sistema para isolar x' e y'. Depois, resolveremos o sistema homogêneo associado e, por fim, encontraremos uma solução particular por coeficientes não determinados.

Passo 2

Vamos reescrever as duas equações como um sistema linear em x' e y':
\begin{pmatrix} -1 & 2\\\\ 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'\\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 3y + e^t\\\ x - 15y + e^{-t} \end{pmatrix}.
O determinante da matriz dos coeficientes é \det =(-1)(-4)-2\cdot3=-2. Invertendo, obtemos
\begin{pmatrix} x'\\\ y' \end{pmatrix} =-\tfrac12 \begin{pmatrix} -4 & -2\\\\ -3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x + 3y + e^t\\\ x - 15y + e^{-t} \end{pmatrix}.
Fazendo as multiplicações e agrupando os termos exponenciais, chega-se a
x' = 3x - 9y + 2e^t + e^{-t},\qquad y' = 2x - 3y + \tfrac32\,e^t + \tfrac12\,e^{-t}.

Passo 3

O sistema homogêneo associado é
x' = 3x - 9y,\quad y' = 2x - 3y.
Dessa forma, eliminando y, obtemos para x a equação
x'' + 9x = 0,
cuja solução geral é
x_h(t) = C_1\cos(3t) + C_2\sin(3t).
Para y_h(t), usamos a relação y = \tfrac{3x - x'}{9}, o que dá
y_h(t) = \frac{3x_h - x_h'}{9} = \frac{1}{3}\bigl[C_1\bigl(\cos3t+\sin3t\bigr) + C_2\bigl(\sin3t-\cos3t\bigr)\bigr].

Passo 4

Para a solução particular, somamos as contribuições de e^t\) e de \(e^{-t}\). Suponha \[x_p = A e^t + C e^{-t},\qquad y_p = B e^t + D e^{-t}.
Substituindo em x' = 3x - 9y + 2e^t + e^{-t} e em y' = 2x - 3y + \tfrac32e^t + \tfrac12e^{-t}, achei o sistema para (A,B):
\begin{cases} -2A + 9B = 2,\\\\ -2A + 4B = \tfrac32, \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac{11}{20},\; B = \tfrac{1}{10},
e para ((C,D)]:
\begin{cases} -4C + 9D = 1,\\\\ -2C + 2D = \tfrac12, \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad C = -\tfrac14,\; D = 0.
Logo,
x_p = -\tfrac{11}{20}e^t - \tfrac14 e^{-t},\qquad y_p = \tfrac{1}{10}e^t.

Resposta

x(t) = C_1\cos(3t) + C_2\sin(3t) - \tfrac{11}{20}e^t - \tfrac14 e^{-t},
y(t) = \frac{1}{3}\bigl[C_1\bigl(\cos3t+\sin3t\bigr) + C_2\bigl(\sin3t-\cos3t\bigr)\bigr] + \tfrac{1}{10}e^t.

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