O enunciado nos dá o sistema de equações diferenciais lineares de 1ª ordem com coeficientes constantes e termos forçantes exponenciais:
\begin{cases} 2\,y' - x' = x + 3y + e^t,\\\\ 3\,x' - 4\,y' = x - 15y + e^{-t}. \end{cases}
O conteúdo aqui é reconhecer que podemos escrever esse sistema na forma matricial e, em seguida, inverter o sistema para isolar x' e y'. Depois, resolveremos o sistema homogêneo associado e, por fim, encontraremos uma solução particular por coeficientes não determinados.
Passo 2
Vamos reescrever as duas equações como um sistema linear em x' e y':