Questão 1: Em um modelo keynesiano simples, são dadas as seguintes funções:
\mathrm{C}=200+0,76 \mathrm{Yd}
\mathrm{I}=20+0,12 \mathrm{Y}-4 \mathrm{i}
G =900
\mathrm{X}=100
\mathrm{M}=100+0,045 \mathrm{Y}
\mathrm{T}=50+0,1 \mathrm{Y}
\mathrm{Yd}=\mathrm{Y}-\mathrm{T}
\mathrm{i}=2
Explique como a variação na taxa de juros afetaria o investimento nesta economia. Se a taxa de juros subisse de 2 para 5, o que aconteceria com o investimento e, consequentemente, com a renda de equilíbrio? Justifique.

Passo 1

Enunciado e o que se pede. Dados fornecidos:
\begin{aligned} &C = 200 + 0,76\,Y_d\\\ &I = 20 + 0,12\,Y - 4\,i\\\ &G = 900\\\ &X = 100\\\ &M = 100 + 0,045\,Y\\\ &T = 50 + 0,1\,Y\\\ &Y_d = Y - T\\\ &i = 2 \text{ (situação inicial)} \end{aligned}çã
Perguntas do enunciado:
  • Explique qualitativamente como a variação da taxa de juros i afeta o investimento I nesta economia.
  • Calcule numericamente o que acontece com I e com a renda de equilíbrio Y se a taxa de juros subir de i=2 para i=5. Justifique (mostrar cálculos).

Passo 2

Expressão de renda disponível Y_d. Substituo T em Y_d:
Y_d = Y - T = Y - \left(50 + 0,1\,Y\right) = 0,9\,Y - 50.
Isto significa que, para cada unidade adicional de Y, a renda disponível aumenta em 0,9 unidade (depois de descontar impostos).

Passo 3

Substituo Y_d em C para obter consumo em função de Y:
C = 200 + 0,76\,Y_d = 200 + 0,76(0,9\,Y - 50).
Faço as multiplicações:
0,76\cdot 0,9 = 0,684,\qquad 0,76\cdot 50 = 38.
Logo
C = 200 + 0,684\,Y - 38 = 162 + 0,684\,Y.

Passo 4

Interpretação qualitativa do efeito de i sobre I. A função de investimento é
I = 20 + 0,12\,Y - 4\,i.
  • O termo -4\,i mostra que um aumento da taxa de juros reduz o investimento: cada aumento de uma unidade em i reduz I em 4 unidades, ceteris paribus.
  • Como I também depende de Y ( +0,12\,Y), o efeito final sobre I numa mudança de i depende também da mudança de Y, que por sua vez é afetada por I. Por isso usamos o equilíbrio agregado para obter o efeito total (efeito direto sobre I + efeito via mudança de Y multiplicado pelo multiplicador).

Passo 5

Monte a demanda agregada AD. Em equilíbrio Y = AD = C + I + G + X - M. Substituo as expressões em função de Y (usando i=2 primeiro):
\begin{aligned} C &= 162 + 0,684\,Y,\\\ I &= 20 + 0,12\,Y - 4\cdot 2 = 12 + 0,12\,Y,\\\ G &= 900,\\\ X &= 100,\\\ M &= 100 + 0,045\,Y. \end{aligned}
Agora somo C+I+G+X-M:
AD = (162+0,684Y) + (12+0,12Y) + 900 +100 - (100+0,045Y).
Agrupo termos constantes e termos em Y:
Constantes: 162 + 12 + 900 +100 -100 = 1074.
Coeficiente de Y: 0,684 + 0,12 - 0,045 = 0,759.
Portanto
AD = 1074 + 0,759\,Y.

Passo 6

Encontro a renda de equilíbrio na situação inicial i=2. Em equilíbrio Y = AD:
Y = 1074 + 0,759\,Y \quad\Rightarrow\quad Y - 0,759\,Y = 1074.
0,241\,Y = 1074 \quad\Rightarrow\quad Y = \frac{1074}{0,241}.
Calculo numérico:
Y \approx 4456,43.
Este é o nível de renda de equilíbrio quando i=2.

Passo 7

Calculo o investimento inicial correspondente (quando i=2) usando I = 12 + 0,12\,Y:
I = 12 + 0,12\cdot 4456,43 \approx 12 + 534,77 = 546,77.

Passo 8

Interpreto com multiplicador. O multiplicador na forma adotada é
k = \frac{1}{1 - (0,684 + 0,12 - 0,045)} = \frac{1}{1 - 0,759} = \frac{1}{0,241} \approx 4,149.
Isto significa: uma redução autônoma do investimento de 1 unidade reduz a renda de equilíbrio em aproximadamente 4,149 unidades.
O efeito direto de uma variação de i sobre a parte autônoma do investimento é \partial I/\partial i = -4. Assim uma alta de \Delta i = 3 (de 2 para 5) reduz a parte autônoma de I em
\Delta I_{\text{aut}} = -4\cdot \Delta i = -4\cdot 3 = -12.
Logo a mudança na renda será aproximadamente
\Delta Y = k \cdot \Delta I_{\text{aut}} \approx 4,149 \cdot (-12) \approx -49,79,
o que coincide com a solução explícita que vamos calcular a seguir.

Passo 9

Agora calculo explicitamente a nova renda de equilíbrio com i=5. Primeiro obtenho I em função de Y:
I = 20 + 0,12\,Y - 4\cdot 5 = 20 + 0,12\,Y - 20 = 0 + 0,12\,Y = 0,12\,Y.
Repito a montagem de AD:
AD = C + I + G + X - M = (162 + 0,684Y) + (0,12Y) + 900 +100 - (100 + 0,045Y).
Constantes: 162 + 0 +900 +100 -100 = 1062.
Coeficiente de Y: 0,684 + 0,12 - 0,045 = 0,759 (mesmo de antes).
Portanto
AD = 1062 + 0,759\,Y.
Em equilíbrio:
Y = 1062 + 0,759\,Y \quad\Rightarrow\quad 0,241\,Y = 1062.
Y = \frac{1062}{0,241} \approx 4406,64.

Passo 10

Calculo o investimento com i=5 e Y \approx 4406,64:
I = 0,12\,Y \approx 0,12\cdot 4406,64 \approx 528,80.
Comparações e interpretação final:
  • Investimento passa de aproximadamente 546,77 para 528,80, uma queda de cerca de 17,97.
  • Renda de equilíbrio passa de aproximadamente 4456,43 para 4406,64, uma queda de cerca de 49,79.
  • A razão pela qual a queda em Y é maior que a queda direta na parte autônoma de I (-12) é o multiplicador k\approx 4,149: a redução inicial do investimento se propaga pela economia via consumo e importações, ampliando a queda na renda.

Resposta

Investimento inicial I \approx 546,77 e renda de equilíbrio inicial Y \approx 4456,43.
Com i subindo de 2 para 5: investimento I \approx 528,80 e renda de equilíbrio Y \approx 4406,64.

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