Questão 1: Em um modelo keynesiano simples, são dadas as seguintes funções:
\mathrm{C}=200+0,76 \mathrm{Yd}
\mathrm{I}=20+0,12 \mathrm{Y}-4 \mathrm{i}
G =900
\mathrm{X}=100
\mathrm{M}=100+0,045 \mathrm{Y}
\mathrm{T}=50+0,1 \mathrm{Y}
\mathrm{Yd}=\mathrm{Y}-\mathrm{T}
\mathrm{i}=2
Como o aumento na alíquota dos impostos proporcionais (de 10% para 20%) afetaria a renda disponível das famílias, o consumo e o equilíbrio macroeconômico? Explique o caminho do impacto.

Passo 1

O enunciado pede para analisar como o aumento da alíquota dos impostos proporcionais de 10\% para 20\% afeta: (a) a renda disponível das famílias, (b) o consumo e (c) o equilíbrio macroeconômico (renda de equilíbrio).
As informações fornecidas são as seguintes (vou listar exatamente as equações do enunciado):
\begin{aligned} &\mathrm{C}=200+0,76\,\mathrm{Yd},\\\ &\mathrm{I}=20+0,12\,\mathrm{Y}-4\,\mathrm{i},\\\ &G=900,\\\ &\mathrm{X}=100,\\\ &\mathrm{M}=100+0,045\,\mathrm{Y},\\\ &\mathrm{T}=50+0,1\,\mathrm{Y}\\ \\ \text{(antes do aumento)},\\\ &\mathrm{Yd}=\mathrm{Y}-\mathrm{T},\\\ &\mathrm{i}=2. \end{aligned}
O que será alterado é a alíquota proporcional que aparece em \mathrm{T}: passar de 0,1 (ou 10\%) para 0,2 (ou 20\%).
(A figura/anexo enviada contém um logotipo e não traz dados numéricos relevantes para a resolução.)

Passo 2

Vamos entender o que representam as variáveis e a ideia central antes de manipular equações. Isso é importante para poder seguir os passos na prova sem confusão.
  • \mathrm{Y} é a renda agregada (produto). O equilíbrio macroeconômico no modelo keynesiano simples ocorre quando a produção (oferta) iguala a demanda agregada: \mathrm{Y}=\mathrm{C}+\mathrm{I}+G+\mathrm{X}-\mathrm{M}. A importação é um vazamento, por isso subtraímos \mathrm{M}.
  • \mathrm{Yd}=\mathrm{Y}-\mathrm{T} é a renda disponível das famílias — aquilo que sobra da renda depois de pagar impostos. Se a alíquota aumenta, a parte de \mathrm{Y} que vai para impostos cresce, reduzindo \mathrm{Yd}.
  • \mathrm{C}=200+0,76\,\mathrm{Yd}: o termo 200 é consumo autônomo (consumo que não depende de renda) e 0,76 é a propensão marginal a consumir (MPC). A MPC é a fração de um aumento da renda disponível que as famílias consumirão. Ex.: se a renda disponível aumenta em 100, com MPC 0,76 o consumo aumenta 76.
  • \mathrm{I}=20+0,12\mathrm{Y}-4\mathrm{i}: investimento depende positivamente de \mathrm{Y} (há componente autônomo e responsivo à renda) e negativamente da taxa de juros \mathrm{i}. Aqui \mathrm{i}=2 é fixo; portanto podemos calcular o termo numérico com facilidade.
Agora vamos reescrever \mathrm{C} explicitamente em função de \mathrm{Y} e da alíquota t (onde inicialmente t=0,1 e depois t=0,2), para trabalhar diretamente com uma equação em \mathrm{Y}.

Passo 3

Expressão de \mathrm{C} em função de \mathrm{Y} e da alíquota t.
Começo com \mathrm{Yd}=\mathrm{Y}-\mathrm{T}=\mathrm{Y}-(50+t\mathrm{Y})=\mathrm{Y}(1-t)-50.
Substituo em \mathrm{C}=200+0,76\,\mathrm{Yd}:
\mathrm{C}=200+0,76\big(\mathrm{Y}(1-t)-50\big)=200+0,76(1-t)\mathrm{Y}-0,76\cdot50.
Calculo 0,76\cdot50=38. Logo:
\mathrm{C}= (200-38) + 0,76(1-t)\mathrm{Y} = 162 + 0,76(1-t)\mathrm{Y}.
Comentário didático: esse passo mostra que o efeito da alíquota t sobre o consumo aparece multiplicando a MPC: a parte da renda que efetivamente alimenta consumo é 0,76(1-t) por unidade de \mathrm{Y}.

Passo 4

Expressão de \mathrm{I} com \mathrm{i}=2, e listar \mathrm{M} e \mathrm{T}.
Com \mathrm{i}=2 temos
\mathrm{I}=20+0,12\mathrm{Y}-4\cdot 2 =20+0,12\mathrm{Y}-8 =12+0,12\mathrm{Y}.
As outras relações já dadas:
\mathrm{M}=100+0,045\mathrm{Y},\qquad \mathrm{T}=50+t\mathrm{Y}.

Passo 5

Equilíbrio (igualdade oferta = demanda) e montagem da equação em \mathrm{Y}.
A condição de equilíbrio é
\mathrm{Y}=\mathrm{C}+\mathrm{I}+G+\mathrm{X}-\mathrm{M}.
Substituo as expressões encontradas:
\mathrm{Y}= \big(162+0,76(1-t)\mathrm{Y}\big) + \big(12+0,12\mathrm{Y}\big) +900 +100 - \big(100+0,045\mathrm{Y}\big).
Agora vou agrupar constantes e os coeficientes de \mathrm{Y}.
Constantes: 162+12+900+100-100 =1074.
Coeficiente de \mathrm{Y}: 0,76(1-t) + 0,12 - 0,045. Calculo 0,12-0,045=0,075. Então coeficiente = 0,76(1-t)+0,075 = 0,835 -0,76t.
A equação fica
\mathrm{Y} = 1074 + \big(0,835 -0,76t\big)\mathrm{Y}.
Levo o termo em \mathrm{Y} para o lado esquerdo:
\mathrm{Y}\big[1 - (0,835 -0,76t)\big] = 1074 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{Y}\big(0,165 +0,76t\big)=1074.
Portanto a renda de equilíbrio é
\boxed{\displaystyle \mathrm{Y}=\dfrac{1074}{0,165+0,76t}.}
Didática: isso é o multiplicador do modelo com imposto proporcional. Note que quanto maior t, maior o denominador e menor \mathrm{Y}.

Passo 6

Cálculo numérico do equilíbrio antes do aumento ( t=0,1).
Denominador: 0,165+0,76\cdot 0,1 =0,165+0,076=0,241.
Logo
\mathrm{Y}_{\text{antes}}=\dfrac{1074}{0,241}\approx 4456.
Agora calculo a renda disponível, consumo, investimento, impostos e importações antes:
\mathrm{T}_{\text{antes}}=50+0,1\cdot 4456 =50+445,6=495,6,
\mathrm{Yd}_{\text{antes}}=4456-495,6=3960,4,
\mathrm{C}_{\text{antes}}=200+0,76\cdot 3960,4 =200+3009,904\approx 3209,9,
\mathrm{I}_{\text{antes}}=12+0,12\cdot 4456 =12+534,72\approx 546,7,
\mathrm{M}_{\text{antes}}=100+0,045\cdot 4456 =100+200,52\approx 300,5.
Checagem rápida: \mathrm{C}+\mathrm{I}+G+X-\mathrm{M}\approx 3209,9+546,7+900+100-300,5\approx 4456, ok.

Passo 7

Cálculo numérico do equilíbrio depois do aumento ( t=0,2).
Denominador: 0,165+0,76\cdot 0,2 =0,165+0,152=0,317.
Logo
\mathrm{Y}_{\text{depois}}=\dfrac{1074}{0,317}\approx 3388,6.
Agora calculo as variáveis depois:
\mathrm{T}_{\text{depois}}=50+0,2\cdot 3388,6 =50+677,7\approx 727,7,
\mathrm{Yd}_{\text{depois}}=3388,6-727,7\approx 2660,9,
\mathrm{C}_{\text{depois}}=200+0,76\cdot 2660,9 =200+2022,3\approx 2222,3,
\mathrm{I}_{\text{depois}}=12+0,12\cdot 3388,6 =12+406,6\approx 418,6,
\mathrm{M}_{\text{depois}}=100+0,045\cdot 3388,6 =100+152,5\approx 252,5.
Checagem: soma dá aproximadamente \mathrm{Y}_{\text{depois}}, tudo consistente.

Passo 8

Cálculo das variações e interpretação passo a passo do caminho do impacto.
Variações numéricas (depois menos antes):
\Delta \mathrm{Y}=\mathrm{Y}_{\text{depois}}-\mathrm{Y}_{\text{antes}}\approx 3388,6-4456\approx -1067,4.
\Delta \mathrm{Yd}\approx 2660,9-3960,4\approx -1299,5.
\Delta \mathrm{C}\approx 2222,3-3209,9\approx -987,6.
\Delta \mathrm{T}\approx 727,7-495,6\approx +232,1.
Caminho econômico do impacto (explicação didática, passo a passo):
  1. Aumenta a alíquota t de 0,1 para 0,2. Isso eleva diretamente a parcela da renda que vai para impostos por unidade de \mathrm{Y}.
  2. Para um dado nível de \mathrm{Y}, \mathrm{Yd} cai porque \mathrm{T}=50+t\mathrm{Y} aumentou. Assim o consumo inicial diminui via \mathrm{C}=200+0,76\mathrm{Yd}.
  3. A queda do consumo reduz a demanda agregada. Como o equilíbrio exige que produção iguale demanda, a renda de equilíbrio \mathrm{Y} cai.
  4. A queda de \mathrm{Y} tem efeitos em cadeia: reduz investimento (já que \mathrm{I} tem componente +0,12\mathrm{Y}) e reduz importações (menos renda → menos importações). Essas reduções de importações atenuam parcialmente a queda da demanda doméstica, mas não o suficiente para evitar a redução de \mathrm{Y}.
  5. O valor de \mathrm{T} (receita do governo) aumenta apesar da queda em \mathrm{Y} (porque a alíquota subiu). No nosso cálculo \mathrm{T} subiu em aproximadamente 232,1.
  6. Em resumo: aumento de t → menor \mathrm{Yd} → menor \mathrm{C} → menor demanda agregada → menor \mathrm{Y} de equilíbrio. Parte desse efeito é amortecida por menores importações; investimento também cai por menor \mathrm{Y}.
Comentário sobre multiplicadores (intuitivo): a redução do consumo é proporcional à MPC ( 0,76) aplicada à queda da renda disponível; o multiplicador agregado incorpora MPC, a propensão a importar e a sensibilidade do investimento à renda (aqui representada pelo coeficiente 0,12). A fórmula que derivamos mostra explicitamente que a renda de equilíbrio diminui quando t aumenta, porque \mathrm{Y}=\dfrac{1074}{0,165+0,76t}.

Resposta

\mathrm{Y}_{\text{antes}} \approx 4456
\mathrm{Y}_{\text{depois}} \approx 3388,6
\Delta \mathrm{Y} \approx -1067,4
\mathrm{Yd}_{\text{antes}} \approx 3960,4
\mathrm{Yd}_{\text{depois}} \approx 2660,9
\Delta \mathrm{Yd} \approx -1299,5
\mathrm{C}_{\text{antes}} \approx 3209,9
\mathrm{C}_{\text{depois}} \approx 2222,3
\Delta \mathrm{C} \approx -987,6

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