QUESTÃO 3 Um mol de um determinado gás expande para quatro vezes o seu volume inicial e volta para a mesma temperatura inicial por meio de um processo em duas etapas,
(adiabática) e B
(isovolumétrica), conforme mostra diagrama P-V ao lado. Determine:
(a) a variação da entropia entre o estado inicial (ponto A ) e o estado final (ponto C ).
(a) a variação da entropia entre o estado inicial (ponto A ) e o estado final (ponto C ).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um mol de um gás que primeiro se expande para quatro vezes o volume inicial de forma adiabática (sem troca de calor) do ponto A para o ponto B. Depois, ele volta para a temperatura inicial por meio de um processo isovolumétrico (volume constante) do ponto B para o ponto C. Nosso objetivo é determinar a variação da entropia entre o estado inicial A e o estado final C. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de processos adiabático e isovolumétrico, além da definição de entropia em termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente, ou seja, Q = 0. A entropia, que mede a desordem ou a irreversibilidade de um processo, é dada por ΔS = ∫(dQ)/T. Como Q = 0 na adiabática, a variação de entropia entre A e B será zero.
Passo 3
Agora, vamos analisar o processo isovolumétrico de B para C. Nesse caso, o volume permanece constante, mas a temperatura retorna ao valor inicial. Para calcular a variação de entropia nesse processo, usamos a fórmula:
Aqui, $ n $ é o número de moles, $ C_v $ é a capacidade calorífica a volume constante, $ T_C $ é a temperatura final e $ T_B $ é a temperatura no ponto B.
Passo 4
Precisamos determinar $ T_B $. Sabemos que no processo adiabático, a relação entre temperatura e volume é dada por:
Onde $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $ é a razão das capacidades caloríficas. Como o volume quadruplou, $ V_B = 4 V_A $. Rearranjando a equação para encontrar $ T_B $:
Passo 5
Substituindo $ T_B $ na equação da variação de entropia do processo isovolumétrico:
Passo 6
Sabemos que $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $, então $ \gamma - 1 = \frac{C_p}{C_v} - 1 = \frac{C_p - C_v}{C_v} = \frac{R}{C_v} $, onde $ R $ é a constante dos gases. Substituindo isso na equação:
Passo 7
Finalmente, substituindo os valores conhecidos: $ n = 1 $ mol e $ R = 8,314 , J/(mol·K) $:
Resposta
A variação da entropia entre o estado inicial A e o estado final C é aproximadamente 11,52 J/K.