Questāo 5. Um mol de um gás ideal, com
, está contido num recipiente, inicialmente a 1 atm e
. O gás é, sucessivamente: (i) comprimido isobaricamente até
do volume inicial
; (ii) aquecido, a volume constante, até voltar à temperatura inicial; (iii) expandido a pressão constante até voltar ao volume inicial; (iv) resfriado, a volume constante, até voltar à pressão inicial.
a) Desenhe o diagrama
associado.
Passo 1
O enunciado pede que se desenhe o diagrama
-
para um ciclo formado por quatro etapas sobre um mol de gás ideal cuja razão de capacidades adiabáticas é
. As informações fornecidas são:
- Estado inicial: pressão
, temperatura e volume inicial . - Processo (i): compressão isobárica (pressão constante) até o volume
. - Processo (ii): aquecimento a volume constante
até a temperatura voltar a . - Processo (iii): expansão a pressão constante até o volume voltar a
. - Processo (iv): resfriamento a volume constante
até a pressão voltar a .
O que se pede explicitamente: desenhar o diagrama
-
associado ao ciclo descrito.
Passo 2
Lembrete útil (lei dos gases ideais) e interpretação dos símbolos, para usar ao calcular os pontos:
- Lei dos gases ideais:
onde
é a pressão,
o volume,
o número de mols,
a constante dos gases e
a temperatura absoluta. Aqui temos
.
- Interpretando: a relação mostra que, mantendo
fixo (isobárico), é proporcional a ; mantendo fixo (isocórico), é proporcional a .
Vou usar essas relações para encontrar as coordenadas (pressão e volume) dos pontos do ciclo.
Passo 3
Estado após o processo (i) — compressão isobárica de
para
a pressão
.
Usando a lei dos gases para o estado inicial
e para o estado após (i)
, com
igual em ambos:
Logo
Portanto o ponto depois da etapa (i) tem coordenadas
.
Passo 4
Estado após o processo (ii) — aquecimento a volume constante
até a temperatura voltar a
.
Como o volume é fixo
, a pressão aumenta proporcionalmente à temperatura:
Aqui
, então
Portanto o ponto após (ii) tem coordenadas
.
Passo 5
Estado após o processo (iii) — expansão a pressão constante
até o volume voltar a
.
Durante essa isobárica de
para
com pressão
, a temperatura final
será
ou seja
O ponto após (iii) tem coordenadas
.
Passo 6
Estado após o processo (iv) — resfriamento a volume constante
até a pressão voltar a
.
A pressão desce de
para
mantendo
. A temperatura volta a
(verificação consistente pela lei dos gases). Assim o ponto final é o estado inicial
. O ciclo fecha.
Passo 7
Instruções precisas para desenhar o diagrama
-
(passo a passo para traçar um desenho claro no caderno):
- Desenhe os eixos: eixo horizontal é volume
(marcar para a direita), eixo vertical é pressão (marcar para cima). Marque um ponto à direita na linha do volume e um pouco acima do eixo para o estado inicial com coordenadas . Rotule este ponto . - Do ponto
trace uma linha horizontal para a esquerda até : esse é o processo (i) isobárico. Marque o ponto em . Coloque uma seta apontando de para (compressão). - Do ponto
trace uma linha vertical para cima até a pressão : esse é o processo (ii) isocórico. Marque o ponto em . Coloque uma seta de para (aquecimento). - Do ponto
trace uma linha horizontal para a direita até à mesma pressão : esse é o processo (iii) isobárico. Marque o ponto em . Coloque uma seta de para (expansão). - Do ponto
trace uma linha vertical para baixo até a pressão , chegando novamente ao ponto : esse é o processo (iv) isocórico. Coloque uma seta de para (resfriamento). - Opcional: indique o sentido do ciclo
(sentido horário). O contorno é um retângulo com lados horizontais isobáricos e lados verticais isocóricos. O retângulo tem altura e largura . A área desse retângulo é a energia líquida de trabalho trocada no ciclo (o sinal positivo vem do sentido horário).
Resposta
O diagrama
-
é um retângulo cujos vértices, partindo do estado inicial e seguindo o ciclo, são:
,
,
,
, com percurso
no sentido horário.