Questāo 5. Um mol de um gás ideal, com \gamma=7 / 5, está contido num recipiente, inicialmente a 1 atm e 27^{\circ} \mathrm{C}. O gás é, sucessivamente: (i) comprimido isobaricamente até 3 / 4 do volume inicial V_{0}; (ii) aquecido, a volume constante, até voltar à temperatura inicial; (iii) expandido a pressão constante até voltar ao volume inicial; (iv) resfriado, a volume constante, até voltar à pressão inicial.
a) Desenhe o diagrama \mathrm{P}-\mathrm{V} associado.

Passo 1

O enunciado pede que se desenhe o diagrama \mathrm{P}- \mathrm{V} para um ciclo formado por quatro etapas sobre um mol de gás ideal cuja razão de capacidades adiabáticas é \gamma=7/5. As informações fornecidas são:
  • Estado inicial: pressão P_0=1\\ \text{atm}, temperatura T_0=27^\circ\mathrm{C}=300\\ \text{K} e volume inicial V_0.
  • Processo (i): compressão isobárica (pressão constante) até o volume V_1=\tfrac{3}{4}V_0.
  • Processo (ii): aquecimento a volume constante V_1 até a temperatura voltar a T_0.
  • Processo (iii): expansão a pressão constante até o volume voltar a V_0.
  • Processo (iv): resfriamento a volume constante V_0 até a pressão voltar a P_0.
O que se pede explicitamente: desenhar o diagrama \mathrm{P}- \mathrm{V} associado ao ciclo descrito.

Passo 2

Lembrete útil (lei dos gases ideais) e interpretação dos símbolos, para usar ao calcular os pontos:
  • Lei dos gases ideais: P V = n R T,
onde P é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante dos gases e T a temperatura absoluta. Aqui temos n=1.
  • Interpretando: a relação mostra que, mantendo P fixo (isobárico), T é proporcional a V; mantendo V fixo (isocórico), P é proporcional a T.
    Vou usar essas relações para encontrar as coordenadas (pressão e volume) dos pontos do ciclo.

Passo 3

Estado após o processo (i) — compressão isobárica de V_0 para V_1=\tfrac{3}{4}V_0 a pressão P_0.
Usando a lei dos gases para o estado inicial (P_0,V_0,T_0) e para o estado após (i) (P_0,V_1,T_1), com P igual em ambos:
\frac{T_1}{T_0}=\frac{V_1}{V_0}=\frac{3}{4}.
Logo
T_1=\frac{3}{4}T_0=\frac{3}{4}\cdot 300\\ \text{K}=225\\ \text{K}.
Portanto o ponto depois da etapa (i) tem coordenadas \big(V_1=\tfrac{3}{4}V_0,\;P_0\big).

Passo 4

Estado após o processo (ii) — aquecimento a volume constante V_1 até a temperatura voltar a T_0.
Como o volume é fixo V_1, a pressão aumenta proporcionalmente à temperatura:
\frac{P_2}{P_1}=\frac{T_0}{T_1}=\frac{T_0}{(3/4)T_0}=\frac{4}{3}.
Aqui P_1=P_0, então
P_2=\frac{4}{3}P_0.
Portanto o ponto após (ii) tem coordenadas \big(V_1=\tfrac{3}{4}V_0,\;P_2=\tfrac{4}{3}P_0\big).

Passo 5

Estado após o processo (iii) — expansão a pressão constante P_2=\tfrac{4}{3}P_0 até o volume voltar a V_0.
Durante essa isobárica de V_1 para V_0 com pressão P_2, a temperatura final T_3 será
\frac{T_3}{T_0}=\frac{V_0}{V_1}=\frac{1}{3/4}=\frac{4}{3},
ou seja
T_3=\frac{4}{3}T_0=400\\ \text{K}.
O ponto após (iii) tem coordenadas \big(V_0,\;P_2=\tfrac{4}{3}P_0\big).

Passo 6

Estado após o processo (iv) — resfriamento a volume constante V_0 até a pressão voltar a P_0.
A pressão desce de P_2=\tfrac{4}{3}P_0 para P_0 mantendo V_0. A temperatura volta a T_0 (verificação consistente pela lei dos gases). Assim o ponto final é o estado inicial \big(V_0,P_0\big). O ciclo fecha.

Passo 7

Instruções precisas para desenhar o diagrama \mathrm{P}- \mathrm{V} (passo a passo para traçar um desenho claro no caderno):
  1. Desenhe os eixos: eixo horizontal é volume V (marcar para a direita), eixo vertical é pressão P (marcar para cima). Marque um ponto à direita na linha do volume e um pouco acima do eixo para o estado inicial A com coordenadas \big(V_0,P_0\big). Rotule este ponto A.
  2. Do ponto A trace uma linha horizontal para a esquerda até V=\tfrac{3}{4}V_0: esse é o processo (i) isobárico. Marque o ponto B em \big(\tfrac{3}{4}V_0,\;P_0\big). Coloque uma seta apontando de A para B (compressão).
  3. Do ponto B trace uma linha vertical para cima até a pressão P=\tfrac{4}{3}P_0: esse é o processo (ii) isocórico. Marque o ponto C em \big(\tfrac{3}{4}V_0,\;\tfrac{4}{3}P_0\big). Coloque uma seta de B para C (aquecimento).
  4. Do ponto C trace uma linha horizontal para a direita até V=V_0 à mesma pressão P=\tfrac{4}{3}P_0: esse é o processo (iii) isobárico. Marque o ponto D em \big(V_0,\;\tfrac{4}{3}P_0\big). Coloque uma seta de C para D (expansão).
  5. Do ponto D trace uma linha vertical para baixo até a pressão P_0, chegando novamente ao ponto A: esse é o processo (iv) isocórico. Coloque uma seta de D para A (resfriamento).
  6. Opcional: indique o sentido do ciclo A\to B\to C\to D\to A (sentido horário). O contorno é um retângulo com lados horizontais isobáricos e lados verticais isocóricos. O retângulo tem altura \Delta P=P_2-P_0=\tfrac{1}{3}P_0 e largura \Delta V=V_0-\tfrac{3}{4}V_0=\tfrac{1}{4}V_0. A área desse retângulo é a energia líquida de trabalho trocada no ciclo (o sinal positivo vem do sentido horário).

Resposta

O diagrama \mathrm{P}- \mathrm{V} é um retângulo cujos vértices, partindo do estado inicial e seguindo o ciclo, são:
A:\big(V_0,\;P_0\big), B:\big(\tfrac{3}{4}V_0,\;P_0\big), C:\big(\tfrac{3}{4}V_0,\;\tfrac{4}{3}P_0\big), D:\big(V_0,\;\tfrac{4}{3}P_0\big), com percurso A\to B\to C\to D\to A no sentido horário.

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